8. 无穷级数

七个常用展开式

$$e^x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}$$ $$\frac{1}{1+x}=\sum _{n=0}^{\infty }(-x{)}^n$$ $$\frac{1}{1-x}=\sum _{n=0}^{\infty }(x{)}^n$$ $$\ln (1+x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{n+1}}{n+1}$$ $$\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$ $$\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$$

$(1+x{)}^a={\sum }_{n=0}^{\infty }(\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{n})x^n$

其中广义二项式系数定义为：

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{n}\right)=\frac{a(a-1)(a-2)\cdots (a-n+1)}{n!}$

收敛条件：

• $|x|<1$ 时级数收敛（对任意实数 $a$）
• $a$ 为非负整数时退化为有限和，对所有 $x$ 成立

和函数 在 指定点的 展开

方法论

幂级数求和

这道题的关键思路是：先对 arcsin x 求导，再对结果做幂级数展开，最后积分还原。

分三步推：三步总结：

第一步：求导转化问题 $(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ 于是只需展开右边，再积分还原。

第二步：用广义二项展开（七大基本展开之一）

$(1+u{)}^{\alpha }={\sum }_{n=0}^{\infty }(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{n})u^n,|u|<1$

取 $\alpha =-\frac{1}{2}$，$u=-x^2$，化简系数 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{-1/2}{n}\right)(-1{)}^n$ 后，每项恰好为正数：

$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{(2n)!}{4^n(n!{)}^2}{x}^{2n}$

目标

要把 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{-1/2}{n}\right)(-1{)}^n$ 化简成 $\frac{(2n)!}{4^n(n!{)}^2}$

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第一步：写出广义二项系数

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{-1/2}{n}\right)=\frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})(-\frac{5}{2})\cdots (-\frac{2n-1}{2})}{n!}$

分子提出所有负号和分母的 2：

$=\frac{(-1{)}^n\cdot \frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{2^n}}{n!}=\frac{(-1{)}^n\cdot 1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{2^n\cdot n!}$

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第二步：乘以 $(-1{)}^n$

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{-1/2}{n}\right)(-1{)}^n=\frac{(-1{)}^n\cdot 1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{2^n\cdot n!}\cdot (-1{)}^n=\frac{(-1{)}^{2n}\cdot 1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{2^n\cdot n!}$

因为 $(-1{)}^{2n}=1$，负号全消掉：

$=\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{2^n\cdot n!}$

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第三步：把奇数连乘变成阶乘

关键技巧：在分子分母同时补上偶数 $2\cdot 4\cdot 6\cdots (2n)$：

$1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdots (2n)}{2\cdot 4\cdot 6\cdots (2n)}=\frac{(2n)!}{2^n\cdot n!}$

（偶数连乘 $2\cdot 4\cdots (2n)=2^n\cdot n!$）

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第四步：代回

$\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{2^n\cdot n!}=\frac{(2n)!}{2^n\cdot n!}\cdot \frac{1}{2^n\cdot n!}=\frac{(2n)!}{4^n(n!{)}^2}$

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第三步：逐项积分（幂级数在收敛域内可以逐项积分，这是保证等号成立的关键）

$\arcsin x={\int }_0^x\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{(2n)!}{4^n(n!{)}^2}\cdot \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$

收敛域用 D’Alembert 比值法得 $|x|<1$，端点 $x=\pm 1$ 时级数收敛（可用 Abel 定理结合 $\arcsin (\pm 1)=\pm \frac{\pi }{2}$ 验证），故最终收敛域为 $[-1,1]$。

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用到的”七大基本展开”是哪条？

就是广义二项展开 $(1+x{)}^{\alpha }$，当 $\alpha =-\frac{1}{2}$ 时是最常见的变体。整个推导没有用到其他基本展开，核心技巧在于凑成 $(1-x^2{)}^{-1/2}$ 的形式再套用它。

来把这一步完整拆开算一遍。

验证 $n=2$

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{-1/2}{2}\right)(-1{)}^2=\frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})}{2!}\cdot 1=\frac{\frac{3}{4}}{2}=\frac{3}{8}$

用公式：$\frac{(2\cdot 2)!}{4^2(2!{)}^2}=\frac{24}{16\cdot 4}=\frac{24}{64}=\frac{3}{8}$ ✓