3. 一元函数积分学

二类三角代换积分

${\int }_0^a\sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{\pi a^2}{4}$

定积分换元

${\int }_0^{\pi }\sin xdx=2$

答案：2

如果使用换元，令 $\sin x=t$，则有 ${\int }_0^{0}t\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt$，结果怎么变成0了？

错因 如果令 $\sin x=t$ 需要看x的取值范围在哪，因为 $x=\arcsin t$，$x$ 最多在 $(0,\frac{\pi }{2})$ 上，不符合积分条件啊，但是可以进行分段处理…

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对换元理解不透彻，在定积分永远都是二类换元：$x=f(t)$

这样容易看出 $x$ 的取值区间

分母为 $x^4$ 的不定积分

如题：

$$\int \frac{1+x^2}{1+x^4}dx$$

解题步骤：

1. 上下同除 $x^2$ 这一步才是处理这类分母带有 $x^4$ 的关键

1. 凑出微分 $x-\frac{1}{x}$

2. 换元 $u=x-\frac{1}{x}$

3. 凑出微分 $\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan \frac{u}{\sqrt{2}}+C$

4. 带回变量 $\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan \frac{x^2-1}{\sqrt{2}x}+C$

带根号的积分是只能三角代换还是可以另寻他法？

如题：

\int \frac{1}{x^2}\sqrt{ \frac{{1-x}}{1+x} }dx

>[!tip] 积分函数为 $\color{salmon} e^x\,\cdot\, g(x)$ 类型 > >$$ >\int \,\large{e^x} \frac{{1+\sin x}}{1+\cos x}\,dx >$$ >> [!quote] 提前说明 >> 关于 $e^x$ 的特殊公式： $(\,e^x\,f(x)\,)^\prime=e^x(f^\prime(x)+f(x))$ > >根据上述公式，可以假设 $\Large \frac{{\sin x}}{1+\cos x}$ 为 $\Large f(x)$ > >则能推出 $\Large f^\prime(x) = \frac{{1}}{1+\cos x}$ > >解： > >注意到 上式可以化简为 $\large \int \, e^x (f(x)+f^\prime(x))\,dx$ ，其中 $\large f(x)=\frac{{\sin x}}{1+\cos x}$ > >因此答案为：$\Large \color{yellow}e^x \frac{{\sin x}}{1+\cos x}+C$ >>[!quote] $e^x$ 的属性 >>$e^x$ 一般在积分与常微分方程中使用， 可以利用其 求导后 **<font color="#000000"><font color="#4bacc6">因子不变性</font></font>** 进行特殊构造 ，属于常用的解题技巧 > > [!error] 换元 + 分部积分 + 因式分解 > > ![[Pasted image 20260309201921.png|200]] > 设$\sqrt{ e^{x} - 1 }=t$, 则有 $\textit{ Ordinary } = 2\int \ln(1+t^{2})dt$. > >**~~关键步骤~~**（***极易忽略这里的分部积分***） >$$ >\begin{gather} >2\int \ln(1+t^{2})dt = 2t\ln(1+t^{2}) - 4\int \frac{t^{2}}{1+t^{2}}dt \\ > \\ >\textit{RESULT} = (2x-4)\sqrt{e^x-1 }-4\arctan(\sqrt{ e^x-1}) +\text{C} >\end{gather} >$$ > [!error] 构造多项式积分 + 分部消积分 > > > $$ > \int \frac{x^2e^x}{(x+2)^2}dx > $$ > 构造多项式积分 如下 > $$ > \begin{aligned} > &\int \frac{(x+2-2)^2e^x}{(x+2)^2}dx \\ \\ > =&\int e^xdx-4\int \frac{e^x}{(x+2)}dx+ \int \frac{4e^x}{(x+2)^2}dx \\ \\ > =&\int \left( e^x+ \frac{4e^x}{(x+2)^2} \right)\,\,dx-\frac{4e^x}{(x+2)}-\int \frac{4e^x}{(x+2)^2}dx \\ \\ \\ > > &\Large\mathrm{Result} = e^x-\frac{4e^x}{(x+2)^2}+C > \end{aligned} > $$ > > >#### 建议吃透！！！ > 下面这个题目同上，但是其中的变化更多，相比较看应该是这类题目中最难的； > > $$ > \begin{align} >& \int e^{2x}(1+\tan x)^2dx \\ \\ > =&\int e^{2x}dx+2\int e^{2x}\tan x\,dx+\int e^{2x}\tan^2 x\,dx \\ \\ > =&e^{2x}\tan x+\int e^{2x}(1+\tan^2x)dx-\int \sec^2x\,e^{2x}dx \\ \\ > =&e^{2x}\tan x+C\\ \\ > >&Tip:\large(1+\tan^2 x)=\sec^2x > \end{align} > > $$ > > > > > > >[! example] 思维题 (整体性 + $e^x$ 的求导思维) >$$ >\int \frac{x^{2026}}{1+x+ \frac{x^2}{2!}+……+ \frac{x^{2026}}{2026!}}dx >$$ 将分母看成一个函数 $f(x)$ ，通过 $e^x$ 可以很快想到 $de^x= e^x\,dx$ 因此可以将上式化作： >$$ \int \frac{2026!({f(x) - f^\prime{(x)}})}{f(x)}dx >$$ >这样得到的结果就是 $2026! \,\,x + 2026!\,\,ln|f(x)| + C$ 原函数存在 并不一定说明其 定积分 存在 同理 定积分 存在 也不能说明 原函数存在 举例 带有 跳跃间断点 的 $f(x)$ 可能有 定积分 ，但一定没有原函数 因为他是 逐个分段的