微分方程—难题汇总

解题过程：

1. 建立微分方程

由曲率公式：
$K=\frac{|y^{\prime \prime }|}{(1+y^{\prime 2}{)}^{3/2}}$
题目给定：
$K=\frac{1}{2y^2\cos \alpha }$
其中 $\tan \alpha =y^{\prime }$，则 $\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}$

代入得：
$\frac{y^{\prime \prime }}{(1+y^{\prime 2}{)}^{3/2}}=\frac{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}{2y^2}$
化简：
$2y^2{y}^{\prime \prime }=(1+y^{\prime 2}{)}^2$

2. 令 $w=y^{\prime 2}$

则 $w^{\prime }=2y^{\prime }{y}^{\prime \prime }$，方程变为：
$\frac{dw}{(1+w{)}^2}=\frac{dy}{y^2}$
积分：
$\frac{1}{1+w}=\frac{1}{y}+C$

3. 利用初始条件

曲线在 $(1,1)$ 取极小值 → $y(1)=1$，$y^{\prime }(1)=0$（即 $w=0$）

代入得 $C=0$，所以：
$\frac{1}{1+y^{\prime 2}}=\frac{1}{y}\Rightarrow y^{\prime 2}=y-1$

4. 解方程
   $\frac{dy}{\sqrt{y-1}}=dx$
   令 $u=\sqrt{y-1}$，得：
   $2\sqrt{y-1}=x+C$
   由 $y(1)=1$ 得 $C=-1$

5. 最终结果
   $\boxed{y=\frac{(x-1{)}^2}{4}+1}$