点火公式

初阶公式

点火公式，即华里士（Wallis）公式，专门处理 $[0,\frac{\pi }{2}]$ 上 ${\sin }^{n}x$ 与 ${\cos }^{n}x$ 的积分：

${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}xdx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{n}xdx=\{\begin{array}{ll}\frac{(n-1)!!}{n!!}\cdot \frac{\pi }{2}& n\text{偶}\\ \frac{(n-1)!!}{n!!}& n\text{奇}\end{array}$

其用法十分简明：从 $n$ 出发，隔项相乘，逐级递降。

递降至链末，未点及 $1$ 者，不必另行处理；点及 $1$ 者，则补乘 $\frac{\pi }{2}$。

• $n$ 为偶数时，分子止于 $1$，故补乘 $\frac{\pi }{2}$

• $n$ 为奇数时，分子止于 $2$，无须补乘

${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{6}xdx=\frac{5}{6}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{5\pi }{32}$

${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{7}xdx=\frac{6}{7}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{2}{3}=\frac{16}{35}$

本质

这一公式并非需要死记的硬性规定，其来源只是一次分部积分。记 $I_n={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}xdx$，分出一个 $\sin x$ 凑到微分号内：

$I_n={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n-1}x\sin xdx=-{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n-1}xd(\cos x)$

分部积分。边界项在两端皆为零（$x=\frac{\pi }{2}$ 处 $\cos x=0$，$x=0$ 处 ${\sin }^{n-1}x=0$）：

$I_n=\underset{=0}{\underbrace{-{\sin }^{n-1}x\cos x{|}_0^{\frac{\pi }{2}}}}+(n-1){\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{2}x{\sin }^{n-2}xdx$

$=(n-1){\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(1-{\sin }^{2}x){\sin }^{n-2}xdx$

后一项拆开，恰为 $I_{n-2}$ 与 $I_n$ 本身，移项即得递推公式：

$I_n=(n-1)(I_{n-2}-I_n)⟹n{I}_n=(n-1)I_{n-2}⟹I_n=\frac{n-1}{n}{I}_{n-2}$

照此递推下去，终点只有两种归宿：$n$ 为偶数者止于 $I_0=\frac{\pi }{2}$，$n$ 为奇数者止于 $I_1=1$，口诀中“点到几”所指即此。

至于 $\sin$ 与 $\cos$ 为何同值，只需换元 $x=\frac{\pi }{2}-t$（即区间再现），二者便互相转化，无需另证。

广义公式

前述只处理单一的 ${\sin }^{n}x$ 或 ${\cos }^{n}x$；当二者相乘，即 ${\sin }^{m}x{\cos }^{n}x$ 型积分，则用下面的特殊华里士公式：

${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{m}x{\cos }^{n}xdx=\{\begin{array}{ll}\frac{(m-1)!!(n-1)!!}{(m+n)!!}\cdot \frac{\pi }{2}& m,n\text{均为偶数}\\ \frac{(m-1)!!(n-1)!!}{(m+n)!!}& \text{其余情形}\end{array}$

用法与初阶一致：分母按 $m+n$ 隔项递降，分子取 $m$ 与 $n$ 各自的隔项链；仅当 $m$、$n$ 均为偶数时补乘 $\frac{\pi }{2}$。

举例

${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2}x{\cos }^{3}xdx=\frac{1!!\cdot 2!!}{5!!}=\frac{2}{15}$

${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2}x{\cos }^{2}xdx=\frac{1!!\cdot 1!!}{4!!}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{16}$

其他区间

点火公式仅对 $[0,\frac{\pi }{2}]$ 直接成立；区间扩大时，先依对称性与周期性折算：

• $[0,\pi ]$：${\sin }^{n}x$ 恒为狭义的 $2$ 倍；${\cos }^{n}x$ 偶次 $2$ 倍，奇次为 $0$

• $[0,2\pi ]$ 与 $[-\pi ,\pi ]$：偶次为狭义的 $4$ 倍，奇次为 $0$

• $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$：${\cos }^{n}x$ 恒为狭义的 $2$ 倍；${\sin }^{n}x$ 偶次 $2$ 倍，奇次为 $0$

总而言之：倍数由区间决定，归零由奇偶判定。

举例

${\int }_0^{\pi }{\sin }^{4}xdx=\pi \cdot \frac{3!!}{4!!}=\frac{3\pi }{8}$

${\int }_0^{2\pi }{\cos }^{6}xdx=2\pi \cdot \frac{5!!}{6!!}=\frac{5\pi }{8}$

被积函数若含 $kx+b$，应先换元，视新的积分限落于何处，再依上述规则处理：

${\int }_0^{\pi }{\sin }^{4}2xdx\stackrel{t=2x}{\to }\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }{\sin }^{4}tdt=\frac{1}{2}\cdot 2\pi \cdot \frac{3!!}{4!!}=\frac{3\pi }{8}$

易错

• 双阶乘须分辨奇偶：$6!!=48$，$7!!=105$；约定 $0!!=1$

• $n$ 为 $0$ 或 $1$ 时已无可点之式，其值分别为 $\frac{\pi }{2}$ 与 $1$