极坐标弧长公式

直角坐标弧长公式

$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{{\left(\frac{dx}{d\theta }\right)}^2+{\left(\frac{dy}{d\theta }\right)}^2},d\theta$

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推导过程

极坐标 与 直角坐标

$x=r(\theta )\cos \theta ,y=r(\theta )\sin \theta$

等式两边求导

$\frac{dx}{d\theta }=\frac{dr}{d\theta }\cos \theta -r\sin \theta$

$\frac{dy}{d\theta }=\frac{dr}{d\theta }\sin \theta +r\cos \theta$

代入直角弧长公式

${\left(\frac{dx}{d\theta }\right)}^2={\left(\frac{dr}{d\theta }\right)}^2{\cos }^2\theta -2r\frac{dr}{d\theta }\sin \theta \cos \theta +r^2{\sin }^2\theta$

${\left(\frac{dy}{d\theta }\right)}^2={\left(\frac{dr}{d\theta }\right)}^2{\sin }^2\theta +2r\frac{dr}{d\theta }\sin \theta \cos \theta +r^2{\cos }^2\theta$

两式相加，交叉项恰好消掉：

${\left(\frac{dx}{d\theta }\right)}^2+{\left(\frac{dy}{d\theta }\right)}^2={\left(\frac{dr}{d\theta }\right)}^2\underset{=1}{\underbrace{({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta )}}+r^2\underset{=1}{\underbrace{({\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta )}}$

$\boxed{=r^2+{\left(\frac{dr}{d\theta }\right)}^2}$

得到极弧长公式

$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{r^2+{\left(\frac{dr}{d\theta }\right)}^2},d\theta$

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直观理解

也可以从微元角度理解：

$\underset{\text{弧长微元}}{\underbrace{ds}}$

在极坐标中，$\theta$ 变化 $d\theta$ 时：

方向	位移微元
径向（沿 $r$ 方向）	$dr$
切向（垂直 $r$ 方向）	$r,d\theta$

这两个方向互相垂直，所以：

$ds=\sqrt{(dr{)}^2+(r,d\theta {)}^2}=\sqrt{r^2+{\left(\frac{dr}{d\theta }\right)}^2},d\theta$