做题总结

一元积分

本题特征：函数奇偶性 、 区间对称

拓展知识点：

$$h(x)=\underset{\text{偶函数}}{\underbrace{\frac{1}{2}\left[h(x)+h(-x)\right]}}+\underset{\text{奇函数}}{\underbrace{\frac{1}{2}\left[h(x)-h(-x)\right]}}$$

任一函数皆可拆成“偶部分 + 奇部分”。

对称区间上，由偶倍奇零可推，奇函数 归零舍去，偶函数 加倍，于是得通用公式：

$${\int }_{-a}^{a}h(x)dx={\int }_0^a\underset{2\times \text{偶函数}}{\underbrace{\left[h(x)+h(-x)\right]}}dx$$

变上限积分证明

泰勒展开

题目

设 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上有二阶导数，且 $f\left(\frac{1}{2}\right)=1$，$f^{\prime \prime }(x)>0$

证明 ${\int }_0^{1}f(x)dx\ge 1$

▍展开

$\xi$ 介于 $\frac{1}{2}$ 与 $x$ 之间

$f(x)=f\left(\frac{1}{2}\right)+f^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)+\frac{f^{\prime \prime }(\xi )}{2}{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2$

▍证明

$f^{\prime \prime }(x)>0$，余项非负：

$f(x)\ge 1+f^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)$

积分：

${\int }_0^{1}f(x)dx\ge 1+f^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)\underset{0}{\underbrace{{\int }_0^1\left(x-\frac{1}{2}\right)dx}}=1$

麦克劳林公式

题目

设 $f(x)$ 在区间 $[-a,a](a>0)$ 上具有二阶连续导数，$f(0)=0$。

(1) 写出 $f(x)$ 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；

(2) 证明：在 $[-a,a]$ 上至少存在一点 $\eta$，使 $a^3{f}^{\prime \prime }(\eta )=3{\int }_{-a}^{a}f(x)dx$。

▍展开

$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }(\xi )}{2}{x}^2=f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }(\xi )}{2}{x}^2\xi \text{ 介于 }0\text{ 与 }x\text{ 之间}$

▍证明

积分，奇项归零：

${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=\frac{1}{2}{\int }_{-a}^a{f}^{\prime \prime }(\xi )x^{2}dx$

夹逼，$m,M$ 为 $f^{\prime \prime }$ 在 $[-a,a]$ 上的最值：

$\frac{m}{2}{\int }_{-a}^a{x}^{2}dx\le {\int }_{-a}^{a}f(x)dx\le \frac{M}{2}{\int }_{-a}^a{x}^{2}dx$

介值，$f^{\prime \prime }$ 连续：

$\frac{1}{2}{\int }_{-a}^a{x}^{2}dx=\frac{a^3}{3}\Rightarrow \frac{3}{a^3}{\int }_{-a}^{a}fdx\in [m,M]$

$\Rightarrow \exists \eta \in [-a,a],a^3{f}^{\prime \prime }(\eta )=3{\int }_{-a}^{a}f(x)dx$

双中值定理

柯西施瓦兹不等式

N-L 公式

${\int }_0^{\pi }f(\sin x)dx=2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\sin x)dx$

${\int }_0^{\pi }xf(\sin x)dx=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }f(\sin x)dx(\text{令 }x\to \pi -x\text{ 即证})$