不定积分

变限积分

$$形如：{\int }_0^{x}f(x)dx的变限积分，若被积函数不连续，则该积分不可导$$

该结论可用积分中值定理进行讨论，做题时都是直接用 变限积分求导法则 也就是上述结论

$$对于任意变限积分{\int }_0^{x}f(x)dx都可以将其当成连续函数$$

该结论使用夹逼定理证明连续（不能用积分中值定理，因为该定理要求连续）

注意： 变限积分的 被积函数 一定要有界

原函数的严格定义

若存在函数 $F(x)$，使得在区间上每一点都有：

$F^{\prime }(x)=f(x)$

则称 $F(x)=f(a)+{\int }_a^{x}f(t)dt$ 是 $f(x)$ 的一个原函数。

什么函数具有原函数

1. 连续函数
2. 含有 振荡间断点 的函数

f(x) 的间断点类型	有无原函数	原因
无间断点（连续）	✅ 有	微积分基本定理
振荡间断点	✅ 可以有	不违反Darboux定理
跳跃间断点	❌ 无	违反Darboux定理
可去间断点	❌ 无	同上
无穷间断点	❌ 无	同上

若 被积函数 带有 下面三种间断点 ，其 变限积分 只能称作是 逐段积分的表达式

原函数与导函数

有界性

特殊

1. 闭区间上的连续函数必有界

2. 开区间上的连续函数未必有界 举例： $\frac{1}{x}$

2005 年选择

有限区间内

$$F(x)有界\nRightarrow f(x)有界$$

例如：

$$F(x)=\sqrt{x}在(0,1)上有界，而f(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}在(0,1)上无界；$$

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$$f(x)有界\Rightarrow F(x)有界$$

证明： 放缩求解

$$F(x)=F(a)+{\int }_a^{x}f(t)dt\le \left|F(a)+{\int }_a^{x}f(t)dt\right|\le |F(a)|+M(x-a)x\in (a,b)$$

无限区间内

$$F(x)有界\nRightarrow f(x)有界$$

例如： 振荡函数

$F(x)=\sin x^3$

在 $(0,+\infty )$ 上有界，而其导数 $f(x)=-\sin x^3+3x^2\cos x^3$ 在 $(0,+\infty )$ 上无界

$\lim f(x)$无界震荡

---

$$\begin{array}{c}f(x)\text{有界}\nRightarrow F(x)\text{有界}\\ \\ \text{该命题较为宽泛，有些导函数可推原函数有界}\end{array}$$

例如： 单增函数

$f(x)=1$ , 在 $(1,+\infty )$ 有界，但 $F(x)=x$ 在 $(1,+\infty )$ 无界

例题

奇偶性

例题

复合函数的奇偶性： 内偶则偶，内奇同外

周期性

例题

单调性

例题

积分中值定理（满足连续即可），不能直接对 $F(x)$ 求导（未说明可导）

连续分段求原函数

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不定积分的换元法

不定积分 共四种积分法：第一类换元、第二类换元、分部积分、有理函数积分

其中前两个方法本质是同一个换元的两个方向。

类型

第一类（凑微分）：把复杂式子 $\phi (x)$ 整体当作一个变量，“往前走”，代换过程可以不写：

$\int \sin x\cos xdx=\int \sin xd(\sin x)=\frac{1}{2}{\sin }^{2}x+C$

$\int \frac{\sin x}{\cos x}dx=\int \frac{-d(\cos x)}{\cos x}=-\ln |\cos x|+C$

第二类：把简单自变量 $x$ 换成复杂函数 $x=\psi (t)$，“往后走”，三角代换、倒代换、万能代换都属此类。必须显式写出代换过程，因为最后要回代。

本质互通

令 $\sin x=u$（第一类视角），等价于在默认单调区间上令 $x=\arcsin u$（第二类视角）。
一二类只是同一件事的两个写法，这就是定积分换元法不分类型的根源。

注意事项

换元前提条件

1. 代换后的不定积分存在

2. 积分结果要回代成 $x$ 的函数，需要反函数 $t={\psi }^{-1}(x)$ 存在

所以总假定 $x=\psi (t)$ 在对应区间上单调、可导，且 ${\psi }^{\prime }(t)\ne 0$。

举例

$\int \sqrt{1-x^2}dx\text{令 }x=\sin t$

$\sqrt{1-{\sin }^{2}t}=\sqrt{{\cos }^{2}t}=|\cos t|=\cos t$

不需要分类讨论正负：默认 $t\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$（$x\in [-1,1]$ 的对应单调区间），此时 $\cos t\ge 0$。

这是”默认单调区间”带来的保证。 $x=\psi (t)$ 只有在单调区间，反函数才存在，开方符号才确定。