做题总结

函数性质

奇偶性

1. $奇\times 奇、偶\times 偶⟹偶函数$ $奇\times 偶⟹奇函数$

   该性质 也叫做 乘积奇偶性 相同为偶，不同为奇（符合 奇偶性 特点）

2. $F(x)=g(\phi (x))$ 内偶则偶，内奇同外

   举例: 若 $\phi (x)$ 是偶函数，则 $F(x)$ 一定是偶函数；否则，由 $g(x)$ 确定 $F(x)$ 奇偶性

3. $$f(x)=\{\begin{array}{ll}& g(x)-g(-x)奇函数\\ & \\ & g(x)+g(-x)偶函数\end{array}$$

   选择题

周期性

一般考的都是比较灵活的运算

在 R 上的连续 周期函数 一定 有界

单调性

复合函数 的单调性： 同增异减

$$当x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)时\{\begin{array}{ll}& f(x)=\cos (\sin x)单减\\ & \\ & g(x)=\sin (\cos x)单减\\ & \\ & h(x)=\sin (\sin x)单增\\ & \\ & w(x)=\cos (\cos x)单增\end{array}$$

无穷大 v.s 无界

无穷大 $\in$ 无界

无穷大是逐渐逼近 $\infty$ ，但是无界可以是 振荡 逼近 $\infty$

连续性

特殊反例

$f^2(x)，|f(x)|$ 连续，但 $f(x)$ 不连续的例子

常见的极限问题

基本等价无穷大替换的限制（必须是乘除项）

此处 直接抓大头 肯定是错的，因为是 加减型 缺了常数项，应该 通分 化成假分式再处理

经典远大于

一般性：当 $x\to +\infty$ 时，只要有 $\alpha ,\beta ,\gamma$ ，就有 ${\ln }^{\alpha }x<<x^{\beta }<<e^{\gamma x}$

（阶级局限性）

哪怕 $\alpha$ 取 10000，$\gamma$ 取 0.001，也满足上面的不等式

数列极限的存在（选择）

根据已知数列极限 $a_n、b_n$ 的存在性，可以判断两者复合数列的存在性

$$正推\begin{array}{rl}& \{\begin{array}{ll}& \exists \pm \exists \Rightarrow \exists \\ & \\ & \exists \pm \nexists \Rightarrow \nexists \\ & \\ & \nexists \pm \nexists \Rightarrow 不定\end{array}\\ & \\ & \\ & 反推：举例子\end{array}$$

三角函数 等价

核心口诀

画一条数轴，从左到右依次排列五个函数：

arctan x  <  sin x  <  x  <  arcsin x  <  tan x

相邻两者之差均等价于  $\frac{x^3}{6}$（右减左为正，左减右为负）

读数轴的规则

1. 数轴中心为 x，左边函数值偏小 $\arctan x<\sin x<x$, 右边偏大 $x<\arcsin x<\tan x$

2. 右 - 左 > 0，差值 ~ +x^3/6 每格

3. 左 - 右 < 0，差值 ~ -x^3/6 每格

4. 相距 n 格的差值等价于 n × (x

数列极限 —— 大题

普通题

思路题

用 函数单调性 证 数列单调性

经验题