一阶微分方程推导

一阶线性齐次

$$\begin{array}{c}{y}^{\prime }+P(x)y=0\\ \\ \downarrow \\ \frac{dy}{y\cdot dx}=-P(x)\\ \\ \ln y=\int -P(x)dx+C\\ \\ y=C{e}^{\int -P(x)dx}\end{array}$$

一阶线性非齐次

$$\begin{array}{c}{y}^{\prime }+P(x)y=Q(x)\\ \\ \downarrow \\ \\ 容易看到左侧可以构造一个积分\\ \\ \downarrow \\ \\ 拄拐上楼乘上u(x)\\ \\ (1)y^{\prime }\cdot u(x)+P(x)u(x)\cdot y=Q(x)\cdot u(x)\\ \\ 我们希望u^{\prime }(x)=P(x)u(x)，这样可以构造分部积分\\ \\ \downarrow \\ \\ u(x)=e^{\int P(x)dx}\\ \\ \\ 回带(1)式可得\\ \\ {\left(y\cdot e^{\int P(x)dx}\right)}^{\prime }=Q(x)\cdot e^{\int P(x)dx}\\ \\ y=e^{\int -P(x)dx}(\int Q(x)\cdot e^{\int P(x)dx}dx+C)\end{array}$$