多元函数微分的计算

核心洞察

复合函数求偏导的引擎是链式法则：画树找路，岔路相加、每段相乘。二阶偏导就是算符展开 ${\left(u_x\frac{\partial }{\partial u}+v_x\frac{\partial }{\partial v}\right)}^{2}f$，按普通乘法展开，交叉项系数是 $2$（两条路）。

线性变换 $u=ax+by,v=ax-by$ 的偏导公式是现成的：平方项配 $(a^2+b^2)$、交叉项配 $2(a^2-b^2)$——“反求参数”的题代入即解。

一阶偏导：链式法则

$z=f(u,v)$，其中 $u=u(x,y),v=v(x,y)$：

$f_x=f_u{u}_x+f_v{v}_x,f_y=f_u{u}_y+f_v{v}_y$

画树记忆

树分两层：$f\to u,v\to x,y$。对 $x$ 求偏导 = 走 $f\to u\to x$ 与 $f\to v\to x$ 两条路，每条路各段导数相乘，两条路结果相加：

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flowchart BT
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    class u,x1,y1 uNode
    class v,x2,y2 vNode

从下往上、沿路相乘：青色路 $u_x\cdot f_u$、珊瑚路 $v_x\cdot f_v$，两路结果相加。图中 $x,y$ 各画两份只为避免交叉，指同一个变量。

只走一条路是复合求导最常见的错误——只要 $x$ 同时影响 $u$ 和 $v$，两条路就都不能漏。

二阶偏导：算符展开

把一阶结果再求一次导。一阶公式本身就是算符 $u_x\frac{\partial }{\partial u}+v_x\frac{\partial }{\partial v}$ 作用在 $f$ 上，二阶 相当于 再作用一次、按普通乘法展开（平方项 + 二倍交叉项）：

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}={\left(u_x\frac{\partial }{\partial u}+v_x\frac{\partial }{\partial v}\right)}^{2}f=u_x^2{f}_{uu}+2u_x{v}_x{f}_{uv}+v_x^2{f}_{vv}$

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}=u_y^2{f}_{uu}+2u_y{v}_y{f}_{uv}+v_y^2{f}_{vv}$

其中 $f_{uu}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial u^2}$、$f_{uv}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial u\partial v}$ 等。合并交叉项用到了 $f_{uv}=f_{vu}$（$f$ 二阶偏导连续时混合偏导与求导顺序无关）。

交叉项系数为什么是 $2$

展开 $(A+B{)}^2=A^2+2AB+B^2$ 的 $2$ 倍：$f_{uv}$ 可以”先对 $u$ 后对 $v$“或”先对 $v$ 后对 $u$“，两条路都通；二阶连续时两个结果相等，相加就是 $2$ 倍。

线性变换

$u=ax+by,v=ax-by$

$u_x=a,u_y=b,v_x=a,v_y=-b$ 全是常数，代入上面两式立即得到：

$f_{xx}+f_{yy}=(a^2+b^2)(f_{uu}+f_{vv})+2(a^2-b^2)f_{uv}$

结构记忆

平方项配”和”、交叉项配”差”：$(a^2+b^2)$ 跟着 $f_{uu}+f_{vv}$，$2(a^2-b^2)$ 跟着 $f_{uv}$——$v_y=-b$ 的负号让 $y$ 系交叉项反号，所以交叉项系数是 $a^2-b^2$ 而不是 $a^2+b^2$。

例题

由条件反求 $a^2+b^2$

题目

设 $f(x,y)$ 具有二阶连续偏导数，且 $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}=2$

令 $u=ax+by,v=ax-by$

若 $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial u^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial v^2}=4$，$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial u\partial v}=0$，则 $a^2+b^2=$ ?

分析：已知条件全在 $u,v$ 系，唯一联系两系的是 $f_{xx}+f_{yy}=2$ ——把它用上面的线性变换公式展开，代入已知量解方程。

解答：由线性变换公式

$f_{xx}+f_{yy}=(a^2+b^2)(f_{uu}+f_{vv})+2(a^2-b^2)f_{uv}$

代入 $f_{uu}+f_{vv}=4$、$f_{uv}=0$：

$2=4(a^2+b^2)\Rightarrow a^2+b^2=\frac{1}{2}$

三个易错点

① 交叉项系数是 $2(a^2-b^2)$，不是 $2(a^2+b^2)$——根源在 $v_y=-b$，符号跟 $y$ 系走。

② $f_{uv}=0$ 是关键条件不是摆设：它让交叉项整个消失，方程里才只剩一个未知量 $a^2+b^2$，漏用它题目就无解。

③ 展开里用 $f_{uv}=f_{vu}$ 合并系数，前提是 $f$ 二阶偏导连续——题目给这个条件就是让你放心合并。

隐函数存在性

隐函数的隐字，表现在一个 n 元方程，可以局部表现为 n-1 元的显函数。

隐函数的表示： $F(x,y)=0F(x,y,z)=0$

无论是什么表达形式，想要让一个隐函数合理存在

都必须让 一组自变量 在对应区间的 任意一点邻域 内 对应 唯一的因变量

---

题目一般会问 某个函数方程 分别以 $x,y,z$ 为自变量的 隐函数方程是否存在

隐函数存在性定理的核心条件是：

$\frac{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0)\ne 0$

推导过程（由 $F(x,y)=0$ 开始）：

1. 假设在某点附近有方程

$$F(x,y)\approx F(x_0,y_0)+F_x\Delta x+F_y\Delta y$$

2. 因为有$F(x_0,y_0)=0$ ，所以：

$$F_x\Delta x+F_y\Delta y\approx 0$$

3. 可以解出：

$$\Delta y\approx -\frac{F_x}{F_y}\Delta x$$

4. 若 $F_y\ne 0$，说明 y 可以由 x 唯一确定

多元推广：$F(x,y,z)=0$，$F_z^{\prime }(x_0,y_0,z_0)\ne 0$ $\Rightarrow$ 唯一确定 $z=z(x,y)$。

隐函数求偏导

公式法

相当于对等式左边求偏导，$x,y,z$ 都是独立变量：

$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x^{\prime }}{F_z^{\prime }},\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y^{\prime }}{F_z^{\prime }}$

更正确的写法是：$\omega =F(x,y,z)$，对 $\omega$ 求 $\frac{\partial \omega }{\partial x}=F_x^{\prime }$ 和 $\frac{\partial \omega }{\partial z}=F_z^{\prime }$。

公式的证明

设 $z=z(x,y)$ 由 $F(x,y,z(x,y))=0$ 隐式确定。

对恒等式两边关于 $x$ 求偏导（$y$ 不动，$z$ 是 $x$ 的函数）：

$F_x^{\prime }\cdot 1+F_y^{\prime }\cdot 0+F_z^{\prime }\cdot \frac{\partial z}{\partial x}=0\Rightarrow \boxed{\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x^{\prime }}{F_z^{\prime }}}$

对 $y$ 同理。该结论就是由两边求偏导法推导出来的公式法（适用于简单函数求偏导）。

两边求偏导

$z$ 是关于 $x$ 或 $y$ 的不独立变量，但是 $x$ 和 $y$ 是独立的。因此有两个等式：

F'_2+F'_3\,\frac{\partial z}{\partial y}=0\end{cases}$$ 将等式两边整理可以得到 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 与 $\frac{\partial z}{\partial y}$（适用于求解**二阶偏导**的复杂函数）。 ### 全微分 无论什么情况，用全微分，永远是最快的： $$\large dz=\frac{\partial z}{\partial x}\,dx+\frac{\partial z}{\partial y}\,dy$$ >[!question] 如果是隐函数 怎么快速拿到 $\large dz$ ？ > 下一节：两边式子同时取 $d$ 并采用 微分形式不变性 ## 隐函数求全微分 两边取 $d$ 全微分不只是"公式"，它本质上是**线性运算**： $\large d(\alpha u+\beta v)=\alpha\,du+\beta\,dv$ 乘积法则、链式法则和一元完全一样——所以隐函数方程 **可以两边同时取 $d$**，$z$ 作为函数整体参与运算。取 $d$ 的过程中不出现 $\partial$（和一元完全同构），$\partial$ 只在最后一步把 $dz$ 展开成偏导时出现： $$\large dz=\frac{\partial z}{\partial x}\,dx+\frac{\partial z}{\partial y}\,dy$$ > [!example] 题目（经典真题） > > $z=z(x,y)$ 由方程 $e^{2yz}+x+y^2+z=\dfrac{7}{4}$ 确定，求 $dz\Big|_{\left(\frac12,\frac12\right)}$。 > > **分析**：隐函数、定点求全微分。先代点定出 $z$，再两边取 $d$ 解出 $dz$——比"先分求 $z_x,\,z_y$ 再拼"快，尤其 $x,y$ 混在同一个指数里时，分开求偏导反而更绕。 > > **第一步，代点定 $z$**：代入 $x=\frac12,\,y=\frac12$： > > $$e^z+\frac12+\frac14+z=\frac74\ \Rightarrow\ e^z+z=1\ \Rightarrow\ z=0$$ > > 点是 $\left(\frac12,\frac12,0\right)$。 > > **第二步，两边取 $d$**： > > $$d(e^{2yz})+dx+d(y^2)+dz=0$$ > > 逐项展开（指数函数微分 + 乘积法则）： > > $$e^{2yz}\,d(2yz)+dx+2y\,dy+dz=0$$ > > $$e^{2yz}(2z\,dy+2y\,dz)+dx+2y\,dy+dz=0$$ > > **第三步，$dz$ 项归一边**： > > $$(2y\,e^{2yz}+1)\,dz=-dx-(2z\,e^{2yz}+2y)\,dy$$ > > **第四步，代入数值**：$(x,y,z)=\left(\frac12,\frac12,0\right)$ 时 $e^{2yz}=e^0=1$，$dz$ 系数 $2\cdot\frac12\cdot1+1=2$，$dy$ 系数 $2\cdot0\cdot1+2\cdot\frac12=1$： > > $$2\,dz=-dx-dy\ \Rightarrow\ \boxed{dz=-\frac12\,dx-\frac12\,dy}$$ > [!hint] $d(e^{2yz})=e^{2yz}\,d(2yz)$：二元和一元没差 > > $d(e^u)=e^u\,du$ 对一元成立、对多元同样成立 —— $u=2yz$ 时 > > $du=d(2yz)=2z\,dy+2y\,dz$（乘积法则）。**运算法则一模一样，$\partial$ 只出现在最后一步**：一元 $dy=f'(x)\,dx$，多元 $dz=f_x\,dx+f_y\,dy$，完全同构。 > > $z$ 作为函数整体参与取 $d$，不需要事先拆出 $\frac{\partial z}{\partial x}$ #### 微分形式不变性 > [!hint] 核心一句话 > > $z$ 的全微分形式 $dz=f_x\,dx+f_y\,dy$ **不因自变量还是中间变量而改变**——$u,v$ 是 $x,y$ 的函数时，$dz=f_u\,du+f_v\,dv$ 同样成立。 $$\large z=g(u,v)，u=u(x,y),\ v=v(x,y)$$ $z$ 关于 $x,y$ 的全微分是 $\color{skyblue}\large dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$； 用链式法则展开 $\large \frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}$ 再按 $\large dx,dy$ 重新归组： $$\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy=\frac{\partial z}{\partial u}\!\left(\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy\right)+\frac{\partial z}{\partial v}\!\left(\frac{\partial v}{\partial x}dx+\frac{\partial v}{\partial y}dy\right)=\frac{\partial z}{\partial u}du+\frac{\partial z}{\partial v}dv$$ 括号内恰好是 $du$ 和 $dv$——形式与"把 $u,v$ 当自变量直接写"完全一样，这就是**微分形式不变性**。 > [!tip] 计算上的好处 > > 求复合函数的全微分时，可以**先把中间变量当自变量处理**，再展开 $du,dv$。 > > 比如 $\large d(e^{2yz})=e^u\,du$（令 $u=2yz$），还需要展开 $\large du=2z\,dy+2y\,dz$ > > 使用微分形式不变性就能一步到位，不用每次都显式写链式法则，隐函数求全微分的快速计算就是这个原理。 ![[Pasted image 20260808212202.png]] #### 全微分存在的条件 混合偏导与顺序无关 > [!hint] 核心一句话 > > $P\,dx+Q\,dy$ 是某个函数的全微分 $\Rightarrow$ **必有 $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$**——根源就是混合偏导与求导顺序无关。 若 $P\,dx+Q\,dy$ 是 $u(x,y)$ 的全微分，由微分形式不变性 $du=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy$，对照得 $P=\frac{\partial u}{\partial x},\ Q=\frac{\partial u}{\partial y}$。再对 $P$ 取 $y$ 偏导、$Q$ 取 $x$ 偏导： $$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial^2 u}{\partial y\partial x},\qquad \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial^2 u}{\partial x\partial y}$$ $P,Q$ 有连续一阶偏导 $\Rightarrow$ $u$ 的混合偏导连续 $\Rightarrow$ 由 Clairaut 定理混合偏导与顺序无关 $\Rightarrow$ 两者相等，即 $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$，必要性得证。 > [!danger] 反向判据 > > 若 $\frac{\partial P}{\partial y}\neq\frac{\partial Q}{\partial x}$，则 $P\,dx+Q\,dy$ **一定不是**任何函数的全微分——这是快速排除的利器（线面积分里会反复用到）。 ![[Pasted image 20260808212855.png]] #### 克莱罗定理 $f(x,y)$ 的混合偏导 $f_{xy}$ 和 $f_{yx}$ 在 $(x_0,y_0)$ 处连续，则二者相等： $$\large f_{xy}(x_0,y_0)=f_{yx}(x_0,y_0)$$ **证明**：令 $\Delta = f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0+k)+f(x_0,y_0)$。 把 $\Delta$ 看成关于 $x$ 的差再关于 $y$ 的差，两次用拉格朗日中值定理： $$\Delta = \bigl[f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0+k)\bigr]-\bigl[f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)\bigr]$$ $$=h\,f_x(\xi_1,y_0+k)-h\,f_x(\xi_2,y_0)=hk\,f_{xy}(\xi,\eta)$$ 同理，先对 $y$ 再对 $x$ 用中值定理得 $\Delta = hk\,f_{yx}(\xi',\eta')$。于是 $hk\,f_{xy}(\xi,\eta)=hk\,f_{yx}(\xi',\eta')$，令 $h,k\to 0$，由连续性即得 $f_{xy}=f_{yx}$。 #### 可微与全微分 > [!hint] 核心一句话 > > **可微** $\Leftrightarrow$ **全微分存在**；**偏导连续** $\Rightarrow$ 可微（反过来不行）；可微 $\Rightarrow$ 偏导存在； $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 可微的定义：$\Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)$ 能写成 $$\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho),\qquad \rho=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$$ 即增量 = 线性部分 + 比距离更快趋于零的余项。**可微 $\Rightarrow$ 偏导存在**且 $A=f_x(x_0,y_0),\ B=f_y(x_0,y_0)$，全微分 $dz=f_x\,dx+f_y\,dy$。**反过来不行**——偏导存在推不出可微（可微还要求线性逼近的误差是 $o(\rho)$，不只是偏导在一点有值）。**偏导连续**是比偏导存在更强的条件：它足以保证可微。整理一下包含关系： $$\text{偏导连续}\ \Rightarrow\ \text{可微}\ \Leftrightarrow\ \text{全微分存在}\ \Rightarrow\ \text{偏导存在（局部概念）}$$ 反向箭头都不成立。 验证可微性时通常证 $\large\lim_{\rho\to 0}\frac{\Delta z-f_x\Delta x-f_y\Delta y}{\rho}=0$ 从偏导存在到这个极限，关键一步是用**中值定理**拆开增量： $$\Delta z=[f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0+\Delta y)]+[f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)]$$ 前一项对 $x$ 用中值定理得 $f_x(\xi,y_0+\Delta y)\cdot\Delta x$，后一项对 $y$ 用中值定理得 $f_y(x_0,\eta)\cdot\Delta y$。 偏导连续时 $f_x(\xi,y_0+\Delta y)\to f_x(x_0,y_0)$、$f_y(x_0,\eta)\to f_y(x_0,y_0)$，余项为 $o(\rho)$——这就是偏导连续 $\Rightarrow$ 可微的证明思路。 偏导不连续时这条推理链就断了，可微性不一定成立。 --- # 题型 ## 隐函数方程组求解（偏复杂） 一般情况下不要先入为主，判断哪些变量是自变量；根据题目要求的偏导，确定因变量。 ### 法一 沿用一个方程的隐函数**对两边求偏导**的方法，求出一组关于因变量偏导的方程： ![[Pasted image 20260516102918.png|500]] ### 法二 ![[Pasted image 20260516103731.png|500]] **全微分法**适用范围广，所有情况都能用。 其次，这里求解方程组时，可以使用线性代数里的 **<mark class="hltr-yellow">克拉默法则</mark>**：

\begin{gather}
	\large \begin{pmatrix}
	a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
	a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
	a_{31} & a_{32} & a_{33}
	\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
	x_{1} \\
	x_{2}  \\
	x_{3}
	\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
	b_{1} \\
	b_{2} \\
	b_{3}
	\end{pmatrix} \Rightarrow\ x_i=\frac{D_i}{D}\\ \\ \\ 
	其中 \,\,x_{1}= 
	\frac
	{
	{\begin{vmatrix}
			b_{1} & a_{12} & a_{13} \\
			b_{2} & a_{22} & a_{23} \\
			b_{3} & a_{32} & a_{33}
	\end{vmatrix}}} 
	{\begin{vmatrix}
	   a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
	   a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
	   a_{31} & a_{32} & a_{33}
	\end{vmatrix}}  \quad x_{2}=\frac
	{
	{\begin{vmatrix}
			 a_{11} & b_{1} & a_{13} \\
	   a_{21} & b_{2} & a_{23} \\
	   a_{31} & b_{3} & a_{33}
	\end{vmatrix}}} 
	{\begin{vmatrix}
	   a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
	   a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
	   a_{31} & a_{32} & a_{33}
	\end{vmatrix}} \quad x_{3}=\frac
	{
	{\begin{vmatrix}
			a_{11} & a_{12} & b_{1} \\
	   a_{21} & a_{22} & b_{2} \\
	   a_{31} & a_{32} & b_{3}
	\end{vmatrix}}} 
	{\begin{vmatrix}
	   a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
	   a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
	   a_{31} & a_{32} & a_{33}
	\end{vmatrix}} 
\end{gather}

其中 $D$ 是系数矩阵行列式，$D_i$ 是把第 $i$ 列换成 $b$ 的行列式。自变量组构成的是 $b_i$ 列向量，得到的 $x_i$ 列向量就是对应的因变量微分形式。 >[!caution] 打草稿的时候尽量简写，$F^\prime_{?}$ 形式会减少书写量 > ## 全微分方程求解（选择） 这类题目一般给定函数 >[!example] 举例 > $$\large f(x,y) = x + (y -1)\arctan \sqrt{ \frac{{|x|}}{y} }$$ 问： 该函数在 $(0,1)$ 点的全微分方程（若 方程不可微 则无 全微分方程）？ ### 全微分公式的 推导 ![[Pasted image 20260810154943.png|600]]