二元函数的概念

五大反例

1. 孤岛 极限存在 但 函数不连续，且偏导数不存在

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}1& (x,y)=(0,0)\\ & \\ 0& (x,y)\ne (0,0)\end{array}$$

2. 漏斗 函数连续但 偏导数不存在

$$f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$$

3. 杨桃 函数连续且偏导数存在，但 不可微

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}& (x,y)\ne (0,0)\\ & \\ 0& (x,y)=(0,0)\end{array}$$

4. 水波 可微但 偏导数不连续

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}(x^2+y^2)\sin (\frac{1}{x^2+y^2})& (x,y)\ne (0,0)\\ & \\ 0& (x,y)=(0,0)\end{array}$$

5. 峡谷 偏导数存在 但 极限不存在，函数不连续

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{xy}{x^2+y^2}& (x,y)\ne (0,0)\\ & \\ 0& (x,y)=(0,0)\end{array}$$

特殊说法

全微分存在 $⟺$ 可微

偏导存在 $⟺$ 方向导数存在

例 2（2024 年数二第 5 题，5 分）

已知函数 三维图像

$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}(x^2+y^2)\sin \frac{1}{xy},& xy\ne 0\\ 0,& xy=0\end{array}$

则在点 $(0,0)$ 处（ ）

A. $\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}$ 连续，$f(x,y)$ 可微

B. $\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}$ 连续，$f(x,y)$ 不可微

C. $\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}$ 不连续，$f(x,y)$ 可微

D. $\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}$ 不连续，$f(x,y)$ 不可微

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解析

① 偏导数存在性：由定义 $f_x(0,0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x}=0$，同理 $f_y(0,0)=0$

② 可微性（回到定义）：$\Delta f=f(x,y)-f(0,0)=f(x,y)$，而 $|f(x,y)|\le x^2+y^2={\rho }^2$，故 $\frac{|\Delta f|}{\rho }\le \rho \to 0$，$f$ 在 $(0,0)$ 可微

③ $f_x$ 的连续性：$xy\ne 0$ 时 $f_x=2x\sin \frac{1}{xy}-\frac{x^2+y^2}{x^{2}y}\cos \frac{1}{xy}$，沿 $y=x$ 取 $x_n=\frac{1}{\sqrt{2\pi n}}\to 0$，则 $f_x(x_n,x_n)=-2\sqrt{2\pi n}\to -\infty$，$f_x$ 在 $(0,0)$ 不连续

选项判定：

A（错）：$f_x$ 不连续

B（错）：$f$ 可微

C（对）：$f_x$ 不连续且 $f$ 可微

D（错）：$f$ 可微

答案：C

易错

偏导连续是可微的充分条件而非必要条件：本题 $f_x$ 在 $(0,0)$ 附近甚至无界，$f$ 却可微。判定可微性必须回到定义 $\underset{\rho \to 0}{\lim }\frac{|\Delta f|}{\rho }=0$，不能因偏导不连续就断言不可微。