K 阶齐次函数

k阶齐次函数是指 当自变量全乘以一个倍数 t 时，函数值会等于原函数值乘以 t 的 k 次方。

基本定义

• 对于函数 (f(x_1, x_2, \dots, x_n))，如果对任意 t > 0（或非零常数），满足：
  $f(t{x}_1,t{x}_2,\dots ,t{x}_n)=t^{k}f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$

• 其中 k 就是函数的齐次阶数。

欧拉定理

如果 k 阶齐次函数 $f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ 具有一阶偏导数，那么它满足以下微分方程：

$x_1\frac{\partial f}{\partial x_1}+x_2\frac{\partial f}{\partial x_2}+\cdots +x_n\frac{\partial f}{\partial x_n}=k\cdot f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$
对于二元函数 $f(x,y)$ ，形式则简化为：

$x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}=k\cdot f(x,y)$

主要性质

• 偏导数降阶：k 阶齐次函数的一阶偏导数是 k-1 阶齐次函数。

• 多项式特例：如果一个 n 元多项式每一项的总次数都相同（例如 x² + 3xy + y²），它就是一个齐次函数，次数即为阶数。