变上限积分

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谈到定积分 不能绕过去的那个定理
积分中值定理：面积守恒定律

 

${\int }_a^{b}f(t)\cdot dt=f(\xi )(b-a)$ 

想象一下 当这里的 $b$ 变成一个变量 $x$ 时可以得到:${\int }_a^{x}f(t)dt=f(\xi )\cdot (x-a)$

这里的 $\xi$ 与 x 是相关的,&nbsp&nbsp 不能当作常数看

此时再对该积分 求导 可以证明

被积函数中存在 积分上限变量 的问题

${\int }_0^{x}f(x+t)dt$

则导函数：$\frac{d{\int }_0^{x}f(x+t)dt}{dx}=?$

先讲处理方法，进行 线性映射， 对被积函数内变量换元，令 $x+t=u$ 得到的结果就是

$${\int }_x^{2x}f(u)du={\int }_0^{2x}f(u)du-{\int }_0^{x}f(u)du$$

寻找原因

利用导数的极限定义从本质上寻找问题的根源

例题：

积分区间内出现 非一次函数 例如： $e^x$ 、 $x^2$ 对其求导时，应优先对 区间上的变量求导数