中值定理

费马引理：开闭区间(a,b)有函数 $f(x)$ 连续可导，若恒存在$f(x)\ge f(x_0)$或者$f(x)\le f(x_0)$，在区间内必有有驻点

罗尔中值定理：

拉格朗日定理：

柯西中值定理：

推导过程

已知连续曲线弧 $\widehat{AB}$ 上可导，则有至少一点C,使曲线在点C处的切线平行与弦AB

\begin{gather} \
\text{设}\widehat{AB}由参数方程
\begin{cases}
x= \varphi(t) \
& (a\leq t\leq b) \
y=\psi(t)
\end{cases} 表示\ \
则曲线上点(a,b)的切线斜率为 \frac{dy}{dx}=\frac{\psi^\prime(t)}{\varphi^\prime(t)} \ \
弦AB斜率：
\frac{{\psi(b)-\psi(a)}}{\varphi(b)-\varphi(a)} \
\
\text{假定点C对应参数}t=\xi \text{，那么曲线上点C处的切线平行于弦AB} \ \
\frac{{\psi(b)-\psi(a)}}{\varphi(b)-\varphi(a)}=\frac{\psi^\prime(t)}{\varphi^\prime(t)}
\end{gather}

例题

普遍能用在证明题中，有少数极限题也能使用，不过一般都采取拉格朗日中值定理去求解极限。

上题采用柯西中值定理求极限，将 $a^x$ 看作 a，把 $x^x$ 看作 $b$，当 $x\to a$ 时，则有 $\xi =a^a$.