2. 行列式

七大性质

1. 高斯消元法 （basic）

2. 按行按列展开 🎉

余子式 与 代数余子式 ($M_{i,j}{A}_{i,j}$)

第 $i$ 行展开与第 $i$ 行无关

例：

$$D_3=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& -1& 0\\ 1& 3& 1\end{array}\right|=0$$

问 $A_{31}+2A_{32}+3A_{33}=?$
可以看出 这是第 $1$ 行 系数对 第 $3$ 行代数余子式 的展开 ，答案为 0

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如图：

3. 分块矩阵

利用换行和换列构造 零矩阵

使用多个矩阵相乘的行列式

$$\left|\begin{array}{cc}A& 0\\ C& B\end{array}\right|=|AB|=|A||B|$$

4. 范德蒙德行列式

重点

别名 第二行公式

观察行列式 并尝试把第一行或第一列构造成 全 1

若构造完发现后几行（列）并不满足等比数列，则不能使用范德蒙德

5. 爪型行列式

利用斜边 消除直边 ，类似高斯消元，但是这个套公式比较简单，只看顶点的变化

6. 行和相等 列和相等 行列式

发现 每行相加到某一行后， 某一行的 和是相等的 此时使用提取公因子
得到 全一 行 使用这一行 将后面的 每一行都进行化零操作，构造出一个上下三角矩阵

克拉默法则

行列式的由来就是对方程组的 求解，这个方法也叫做 克拉默法则

小结

错题

错因

好题

1

关键点 按行按列展开 + 矩阵相等

条件 ：$A^T=k{A}^{\ast }$、 已知 $a_{11}=a_{12}=a_{13}=c>0;$

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$$\left(\begin{array}{ccc}c& ?& ?\\ c& ?& ?\\ c& ?& ?\end{array}\right)=k\left(\begin{array}{ccc}{A}_{11}& A_{21}& A_{31}\\ A_{12}& A_{22}& A_{32}\\ A_{13}& A_{23}& A_{23}\end{array}\right)$$

根据 矩阵等式 以及 原矩阵 A 的按行展开 可以直接得到:

\begin{gather} \quad kA_{11} = kA_{12} = kA_{13}= c.\\ \\ {\color \yellow (1)}\quad|A|=c\,\,(A_{11}+A_{12}+A_{13})=\frac{3c^2}{k} \end{gather}

再 对条件中的 等式 左右两边乘上 $A$, 取 行列式 伴随矩阵定义
得到

\begin{gather} A\,\,A^T= k\,\,|A|\,\,E \\ \\ {\color \yellow (2)} \quad|A|^2 = k^3|A|^3 \quad\longrightarrow\quad|A|= \frac{1}{k^3}\\ \end{gather}

(1) 式 (2) 式 联立 得到答案： $c=\frac{1}{k\sqrt{3}}$

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