1. 导学

一、认识矩阵和向量

列向量：一般用 希腊字母 表示 ，为了节省空间，会将其写成行向量的转置形式 $\alpha =(123{)}^{\top }$

二、认识行列式

行列式 (Determinant) 是矩阵的一种运算，一个数的行列式 即是 其本身

矩阵可逆

$对于Ax=b,当矩阵|A|\ne 0时，列向量x唯一，x=\frac{b}{A},一般记作x=A^{-1}b$

三、认识矩阵的数乘、加减法

easy 不用看了

四、认识矩阵的简单乘法

$$\begin{array}{c}A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 9& 8& 5\end{array}\right)B=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 2\\ 2& 0& 3& 1\\ 1& 1& 6& 0\end{array}\right)\\ \\ 若AB矩阵相乘\\ \\ 则AB=\left(\begin{array}{cccc}5& 5& 7& 5\\ 30& 23& 45& 26\end{array}\right)\\ \\ \\ 合并消A_{m\times n}{B}_{n\times s}=C_{m\times s}\end{array}$$

注意矩阵乘法的 行列 数 问题

结论：

五、认识方程组的求解过程

给图 自己看

六、认识二次型

三元二次型

$f(x_1,x_2,x_3)={\underline{4x_1^2+7x_2^2+2x_3^2}}_{平方项}+{\underline{3x_1{x}_2-4x_1{x}_3+7x_2{x}_3}}_{交叉项}$

交叉项 就是 耦合项，也就是要消除掉 部分,

化二次型为标准型： 就是将上式中的 交叉项消除 ，使整个式子 只有平方项。

按矩阵乘法规则， 可将上式转换为：

$$f(x_1,x_2,x_3)=(x_1,x_2,x_3)\left(\begin{array}{ccccc}& 4& \frac{3}{2}& -2& \\ & \frac{3}{2}& 7& \frac{7}{2}& \\ & -2& \frac{7}{2}& 2& \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)$$

用矩阵表示： $f(x_1,x_2,x_3)=x^{\top }Ax$

其中 平方项 系数不变 放在主对角线上。
耦合项 系数 一人一半放到其余对角线上
牛顿说，世界是平衡的 你给谁多少力， 谁就给你多少力

Error

这里 系数 如果不对称分，后面的 结果依然对应，但是不一定 能够让 二次型矩阵变成标准型，可能无法 解耦

若令 $f(x_1,x_2,x_3)=C$ 则 $C$ 表示的是空间二次曲面

七、认识标准型

线性代数里的 线性 就是
旋转(化二次为标准) 也就是 旋转坐标系
拉压

化二次型为标准型的过程 即是 将 $x^{\top }Ax$ 化为 $y^{\top }\Lambda y$

其中 $x=py$ ，求解 $可逆矩阵p$ 是一个考点

$f=x^{\top }Ax\stackrel{x=py}{\to }(py{)}^{\top }A(py)=y^{\top }(p^{\top }Ap)y=y^{\top }\Lambda y$

其中 $p^{\top }Ap=\Lambda$ 合同化 是铺垫了整本线性代数 的核心

其本质是 化 对称矩阵 $A$ ，为 对角矩阵 $\Lambda$ 的过程