曲率

弧微分

$根据上图可知ds=\sqrt{d^{2}x+d^{2}y}=\sqrt{1+y^{{\prime }^2}}dx$ 又因为 $\Delta S\approx ds$ 则能通过曲率计算公式 求出对应点的

**曲率半径**

同理也可以通过 曲率半径 求解 $y^{\prime }$

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曲率计算公式： $K=\frac{|\Delta \alpha |}{|\Delta S|}(\alpha 为弧度制)$

由下图可得 $|\Delta S|=|\Delta \alpha |\cdot R$

代入上式得到 $K=\frac{1}{R}$

已知 $\tan \alpha =y^{\prime }$

则 $y^{\prime \prime }=\frac{d\tan \alpha }{dx}=\frac{1}{{\cos }^2\alpha }\cdot \frac{d\alpha }{dx}=(1+{\tan }^2\alpha )\frac{d\alpha }{dx}=(1+y^{{\prime }^2})\frac{d\alpha }{dx}$  

最后公式： $d\alpha =\frac{y^{\prime \prime }}{(1+y^{{\prime }^2})}dx=\frac{y^{\prime \prime }}{(1+y^{{\prime }^2}{)}^{\frac{3}{2}}}\cdot ds$