Jensen's Inequality

证明

$f$ 在区间上满足 $f^{\prime \prime }\ge 0$（下凸），权重 ${\lambda }_i\ge 0$ 且 ${\sum }_{i=1}^n{\lambda }_i=1$，则

$$f\left(\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{x}_i\right)\le \sum _{i=1}^n{\lambda }_{i}f(x_i)$$

$f^{\prime \prime }\le 0$（上凸）时不等号反向。几何上：下凸函数的弦在弧的上方，所以函数值的平均 $\ge$ 平均值的函数。

等权形式，考试基本只用这个：

$$f\left(\frac{x_1+\cdots +x_n}{n}\right)\le \frac{f(x_1)+\cdots +f(x_n)}{n}$$

什么时候想到它：要证的是”n 项的和（或积）与平均之间的关系”，且每一项都能写成同一个函数 $f$。

套路固定三步：

1. 设函数：乘积或几何平均设 $\ln x$（把乘法变加法），平方和设 $x^2$，三角和设对应的三角函数；

2. 求 $f^{\prime \prime }$ 判凹凸，这一步必须写出来，漏了扣分；

3. 代等权形式，把题目条件（比如 $A+B+C=\pi$）代进去化简。

例1

$x_1,\dots ,x_n>0$，证明 $\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}\le \frac{x_1+\cdots +x_n}{n}$。

乘积结构，设 $f(x)=\ln x(x>0)$，$f^{\prime \prime }(x)=-\frac{1}{x^2}<0$，上凸，等权取 $\ge$：

$$\frac{{\sum }_{i=1}^n\ln x_i}{n}\le \ln \frac{{\sum }_{i=1}^n{x}_i}{n}$$

左边就是 $\ln (x_1\cdots x_n{)}^{1/n}$，$\ln$ 单调递增，两边取 $e$ 指数即证。

例2

锐角 $△ABC$ 中，证明 $\sin A+\sin B+\sin C\le \frac{3\sqrt{3}}{2}$。

设 $f(x)=\sin x(0<x<\frac{\pi }{2})$，$f^{\prime \prime }=-\sin x<0$，上凸：

$$\frac{\sin A+\sin B+\sin C}{3}\le \sin \frac{A+B+C}{3}=\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

两边乘 3 即证。

平方和那道是下凸方向：设 $f(x)=x^2$，$f^{\prime \prime }=2>0$，得 $\frac{\sum x_i^2}{n}\ge {\left(\frac{\sum x_i}{n}\right)}^2$。

严格凸/凹时，当且仅当 $x_1=\cdots =x_n$ 取等，判断能不能取等时要用到。

证明是归纳法：先证 $n=2$（端点为零加 $g^{\prime \prime }\ge 0$），再对点数归纳合并，考研不要求默写，知道有这回事就行。