表格法

**## 经典题目

$\int f(x)dx$ 这类 题目都有一个套路——提前将 $x$ 作为 分部的一部分 放到 微分符号内部

解题步骤

$$\begin{array}{rl}& \int \ln xdx\\ =& \ln x\cdot x-\int 1dx\\ & \\ =& \ln x\cdot x-x+C\end{array}$$

基本公式

分部积分公式：

$\int udv=uv-\int vdu$

来源：$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ 两边积分再移项：

$\int u{v}^{\prime }dx=uv-\int u^{\prime }vdx$

考卷上的形式：先凑微分

考题一般给的是 $u(x)v^{\prime }(x)dx$，需要先把 $v^{\prime }(x)dx$ 凑成 $dv$ 才能用公式——把谁凑到 $d$ 后面（谁当 $v^{\prime }$）是成败关键，选错会把计算越搞越复杂。

积反对幂指三导

七类函数（从左到右积分难度递减，即越靠左越难积分）：

口诀	函数类型	例子	积分难度
积	变限积分函数	${\int }_a^{x}f(t)dt$	最难（本身已是积分式）
反	反三角函数	$\arcsin x,\arctan x$	难
对	对数函数	$\ln x$	较难
幂	幂函数	$x^n$	容易
指	指数函数	$e^x,a^x$	很容易
三	三角函数	$\sin x,\cos x$	很容易
导	带导数符号的函数	$f^{\prime }(x)$	最容易（积分回到 $f(x)$）

规则：先读到的作 $u$ 去求导，后读到的作 $v^{\prime }$ 去积分（凑微分）。

Key Point

越靠左越难积分，所以让不好积分的函数坚决不去积分、让它去求导。求导”什么都能导出来”（没有不好导的），但积分不是——这是分部积分唯一的难点所在。

表格法

第一行写 $u$ 及其逐次求导，第二行写 $v^{\prime }$ 及其逐次积分，对角相乘、正负交替（$+-+-$），最后一项是末列乘积的积分：

	第 1 列	第 2 列	第 3 列	第 4 列
$u$（逐次求导）	$u$	$u^{\prime }$	$u^{\prime \prime }$	$u^{(3)}$
$v^{\prime }$（逐次积分）	$v^{\prime }$	$\int v^{\prime }dx$	$\int v_{1}dx$	$\int v_{2}dx$
符号	$+$	$-$	$+$	$-$
对角相乘	$+u{v}_1$	$-u^{\prime }{v}_2$	$+u^{\prime \prime }{v}_3$	$-u^{(3)}{v}_4$

结果 = 各列对角相乘之和，尾巴是最后一项的积分：

$\int u{v}^{\prime }dx=u{v}_1-u^{\prime }{v}_2+u^{\prime \prime }{v}_3-\cdots \pm \int u^{(n)}{v}_{n}dx$

停止条件（4 条）：

1. $u$ 能导成 $0$ → 一直导到 $0$ 再停（$0$ 的积分是常数 $C$），不要提前停

2. 导不成 $0$ → 观察某一列：两函数乘积可积 → 停

3. 某列乘积与前面某列同类（允许差常数倍）→ 循环节 → 停，移项解方程

4. 以上都不行 → 表格无穷延伸，需化为级数 / 递推公式（难度大，一般不考，了解即可）

循环节的常数 C

循环节移项时 $I=\cdots -I$，两边都是函数族（各带一个 $C$），不能简单合并成 $2I$ 丢掉尾巴——最后一定要把 $C$ 挂回去。

上手例题

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例 1：幂乘指（表格法，导至零）

例 1：幂乘指（表格法）

求 $\int (2x^2-3x+1)e^{-2x}dx$。 口诀”幂指”：$u=2x^2-3x+1$ 作第一行，$v^{\prime }=e^{-2x}$ 作第二行：

	第 1 列	第 2 列	第 3 列	第 4 列
$u$（求导）	$2x^2-3x+1$	$4x-3$	$4$	$0$
$v^{\prime }$（积分）	$e^{-2x}$	$-\frac{1}{2}{e}^{-2x}$	$\frac{1}{4}{e}^{-2x}$	$-\frac{1}{8}{e}^{-2x}$
符号	$+$	$-$	$+$	$-$

对角相乘、正负交替，最后一项是 $0$ 的积分（常数 $C$）：

$I=(2x^2-3x+1)(-\frac{1}{2}{e}^{-2x})-(4x-3)(\frac{1}{4}{e}^{-2x})+4(-\frac{1}{8}{e}^{-2x})+C$

$=\frac{e^{-2x}}{4}(-4x^2+2x-1)+C$

例 2：幂乘三角（表格法，导至零）

例 2：幂乘三角（表格法）

求 $\int (x^2-2)\sin 2xdx$。

口诀”幂三”：

$u=x^2-2\to 2x\to 2\to 0$
$v^{\prime }=\sin 2x\to -\frac{1}{2}\cos 2x\to -\frac{1}{4}\sin 2x\to \frac{1}{8}\cos 2x$

$I=(x^2-2)(-\frac{1}{2}\cos 2x)-2x(-\frac{1}{4}\sin 2x)+2\cdot \frac{1}{8}\cos 2x+C$

$=-\frac{x^2-2}{2}\cos 2x+\frac{x}{2}\sin 2x+\frac{1}{4}\cos 2x+C$

例 3：反乘幂（导不成零，第二列可积停止）

例 3：反乘幂（第二列可积停止）

求 $\int \frac{1}{x^3}\arctan xdx$。 口诀”反幂”：$u=\arctan x$（求导得 $\frac{1}{1+x^2}$，导不成 $0$），$v^{\prime }=x^{-3}$（积分得 $-\frac{1}{2x^2}$）。

第二列乘积 $\frac{1}{x^2(1+x^2)}$ 可拆项积分 → 在第二列停：

$I=-\frac{\arctan x}{2x^2}+\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x^2(1+x^2)}=-\frac{\arctan x}{2x^2}+\frac{1}{2}\int (\frac{1}{x^2}-\frac{1}{1+x^2})dx$

$=-\frac{\arctan x}{2x^2}-\frac{1}{2x}-\frac{\arctan x}{2}+C$

例 4：指乘三（循环节，移项解方程）

例 4：指乘三（循环节，移项解方程）

求 $\int e^x\sin xdx$。 口诀”指三”：$u=e^x$（求导不变化），$v^{\prime }=\sin x$ 作第二行：

	第 1 列	第 2 列	第 3 列
$u$（求导）	$e^x$	$e^x$	$e^x$
$v^{\prime }$（积分）	$\sin x$	$-\cos x$	$-\sin x$
符号	$+$	$-$	$+$
对角相乘	$+e^x(-\cos x)$	$-e^x(-\sin x)$	$+\int e^x(-\sin x)dx$

第三列 $e^x(-\sin x)$ 与原积分同类（差负号）→ 循环节：

$I=e^x(-\cos x)-e^x(-\sin x)+\int e^x(-\sin x)dx=-e^x\cos x+e^x\sin x-I$

移项：$2I=e^x(\sin x-\cos x)$

$I=\frac{1}{2}{e}^x(\sin x-\cos x)+C$

例 4 续： $e^{-x}\cos x$（同款循环节）

求 $\int e^{-x}\cos xdx$。 口诀”指三”：$u=e^{-x}$，$v^{\prime }=\cos x$ 作第二行：

	第 1 列	第 2 列	第 3 列
$u$（求导）	$e^{-x}$	$-e^{-x}$	$e^{-x}$
$v^{\prime }$（积分）	$\cos x$	$\sin x$	$-\cos x$
符号	$+$	$-$	$+$
对角相乘	$+e^{-x}\sin x$	$-(-e^{-x})(-\cos x)$	$+\int e^{-x}(-\cos x)dx$

第三列 $e^{-x}(-\cos x)$ 与第一列同类 → 循环节：

$I=e^{-x}\sin x-e^{-x}\cos x-I\Rightarrow I=\frac{1}{2e^x}(\sin x-\cos x)+C$

例 5：对乘幂（分类讨论 μ 是否等于 −1）

例 5：对乘幂（分类讨论 μ 是否等于 −1）

求 $\int x^{\mu }\ln xdx$。 口诀”对幂”：$u=\ln x$，$v^{\prime }=x^{\mu }$。关键看 μ：

μ ≠ −1：$v=\frac{x^{\mu +1}}{\mu +1}$，第一列乘积即可积：

$I=\frac{x^{\mu +1}}{\mu +1}\ln x-\frac{1}{\mu +1}\int x^{\mu }dx=\frac{x^{\mu +1}}{\mu +1}\ln x-\frac{x^{\mu +1}}{(\mu +1{)}^2}+C$

μ = −1：$v^{\prime }=x^{-1}$ 积分得 $\ln x$，第二列 $\ln x\cdot \ln x$ 与第一列同类 → 循环节：

$I=(\ln x{)}^2-I\Rightarrow I=\frac{1}{2}(\ln x{)}^2+C$

（μ = −1 时也可直接凑微分：$\int \frac{\ln x}{x}dx=\int \ln xd(\ln x)=\frac{1}{2}(\ln x{)}^2+C$）

使用建议

何时用表格法

只用一次分部积分 → 传统写法即可；两次及以上或出现循环节 → 表格法：连续求导、积分一步到位写在表里，正负交错一目了然，能有效减少符号错误和中间步骤遗漏。