线面积分

核心洞察

一、二类积分的本质区别：一类对弧长/面积积分（与方向无关，正测度），二类对坐标积分（与方向有关，需判正负）。

一、二类都可归结为”投影 + 修正”：一类投影后乘倾斜修正系数（$\sqrt{1+y^{\prime 2}}$ 或 $\sqrt{1+z_x^{\prime 2}+z_y^{\prime 2}}$），二类投影后按方向取正负号。

三大公式统一：格林（二维线↔面）、高斯（三维面↔体）、斯托克斯（三维线↔面）——都是区域内部（高维）积分与边界（低维）积分的桥梁。

曲线积分、曲面积分、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式是多元积分学最复杂的内容，下表列出了各种积分的关系，方便读者理解其间的关系。

一类线面

一类积分是对 空间弧长 和 曲面 的积分，计算时需要将积分微元先投影到坐标轴或坐标面， 在投影积分时，需要根据投影方向附加微元系数

该类积分的积分微元都是正测度，因为其与方向无关

二维线

当成是 求 线质量

参数方程

采用 参数方程 求解

极坐标型参数方程 适合线是圆的某一部分 的线积分

三种计算法公式：

普通参数方程法：$x=x(t),y=y(t)(\alpha \le t\le \beta )$

${\int }_{L}f(x,y)ds={\int }_{\alpha }^{\beta }f[x(t),y(t)]\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)}dt$

显函数法：$y=y(x)(a\le x\le b)$

${\int }_{L}f(x,y)ds={\int }_a^{b}f[x,y(x)]\sqrt{1+y^{\prime 2}(x)}dx$

极坐标法：$r=r(\theta )(\alpha \le \theta \le \beta )$

${\int }_{L}f(x,y)ds={\int }_{\alpha }^{\beta }f[r(\theta )\cos \theta ,r(\theta )\sin \theta ]\sqrt{r^2(\theta )+r^{\prime 2}(\theta )}d\theta$

上下限从小积到大

第一类曲线积分的上下限必须从小积到大，以保证线质量（弧长）大于 0。这与第二类曲线积分相反——第二类的上下限从起点到终点，不一定从小到大。

三维线

唯一变量

对于三维空间中的线积分，同样只能采用 参数方程 求解，本质上就是找到一个能唯一确定
三维线（一维对象）上任意一点的 参数变量

注：因为线的自由度为1，因此只需找到一个参数即可描述整条线

三维参数方程 $x=x(t),y=y(t),z=z(t)(\alpha \le t\le \beta )$：

${\int }_{\Gamma }f(x,y,z)ds={\int }_{\alpha }^{\beta }f[x(t),y(t),z(t)]\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)+z^{\prime 2}(t)}dt$

三维面

当成是求 面质量

投影面

计算步骤：

1. 将曲面 $\Sigma$ 在某一坐标面投影（以 $xoy$ 面为例，投影不能有重合）

2. 将曲面表示成 $z=z(x,y)$，带入被积函数（被积函数只含 $x,y$）

3. 写出积分元素 $dS=\sqrt{1+(z_x^{\prime }{)}^2+(z_y^{\prime }{)}^2}dxdy$，化为投影区域内的二重积分

一般是投影转换 成 二重积分，令 $z=z(x,y)$ (可以朝任意方向投影，但是不能有重叠)

三维空间中 $dS=\sqrt{1+(z_x^{\prime }{)}^2+(z_y^{\prime }{)}^2}dxdy$ ，前面的 $\sqrt{1+(z_x^{\prime }{)}^2+(z_y^{\prime }{)}^2}$ 是一个 倾斜修正系数

对于一类线积分而言 该系数为 $\sqrt{1+{y^{\prime }}^2}$

最终公式： $\underset{\Sigma }{\iint }f(x,y,z)dS=\underset{D_{xy}}{\iint }f[x,y,z(x,y)]\sqrt{1+(z_x^{\prime }{)}^2+(z_y^{\prime }{)}^2}dxdy$

倾斜修正系数的来源

为什么 $dS$ 与投影面积 $dxdy$ 之间总差一个 $\sqrt{1+(z_x^{\prime }{)}^2+(z_y^{\prime }{)}^2}$ ？

本质

曲面是倾斜的，投影被”压缩”了，$\sqrt{1+(z_x^{\prime }{)}^2+(z_y^{\prime }{)}^2}$ 就是还原真实面积的修正因子。

直观看来，拿一张矩形纸片（面积 $A$）—平放投影 $=A$，倾斜投影 $<A$，竖直投影 $=0$

$dS$ 作为一张倾斜的纸片，$dxdy$ 只是它在 $xy$ 平面上的”影子”，影子变小了，还原真实面积就要乘以压缩率的倒数

叉乘计算面积：

两向量 $\vec{a},\vec{b}$ 的叉乘 $\vec{a}\times \vec{b}$ 是同时垂直于它俩的新向量，模长 $\Vert \vec{a}\times \vec{b}\Vert =\Vert \vec{a}\Vert \Vert \vec{b}\Vert \sin \theta$，恰好等于它俩张成的平行四边形面积。

严格推导（三步）：

第一步：参数化取切向量 —— 曲面 $z=z(x,y)$ 写成 $\vec{r}(x,y)=(x,y,z(x,y))$，对 $x,y$ 求偏导得到切平面的两个基向量（偏导方向就是曲面的切方向）：

${\vec{r}}_x=(1,0,z_x^{\prime }),{\vec{r}}_y=(0,1,z_y^{\prime })$

第二步：微元 = 切向量张成的平行四边形面积：

$dS=\Vert {\vec{r}}_x\times {\vec{r}}_y\Vert dxdy$

第三步：叉乘展开取模：

${\vec{r}}_x\times {\vec{r}}_y=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 0& z_x^{\prime }\\ 0& 1& z_y^{\prime }\end{array}\right|=(-z_x^{\prime },-z_y^{\prime },1)$

$\Vert {\vec{r}}_x\times {\vec{r}}_y\Vert =\sqrt{1+(z_x^{\prime }{)}^2+(z_y^{\prime }{)}^2}$

$dS=\sqrt{1+(z_x^{\prime }{)}^2+(z_y^{\prime }{)}^2}dxdy$

一类积分的对称性（偶倍奇零）

第一类积分与方向无关，对称性满足偶倍奇零：

• $L$（或 $\Sigma$）关于某轴对称，被积函数关于另一变量为偶 → $2$ 倍半域积分
• 被积函数为奇 → $0$

与第二类偶零奇倍相反：第二类方向参与抵消，偶数倍变 $0$、奇数倍翻倍。

二类线面

二类积分直接对坐标线或坐标面积分，在 投影积分时，只需要根据有向面方向，附加正负号即可。

二维线

求旋度，利用物理定义，正交分解两向量分别乘积

物理意义：变力沿曲线做功 $W={\int }_L\vec{F}\cdot d\vec{r}={\int }_{L}Pdx+Qdy$

参数方程法：$x=x(t),y=y(t)$，$t$ 从起点 $\alpha$ 到终点 $\beta$

${\int }_{L}Pdx+Qdy={\int }_{\alpha }^{\beta }[P(x(t),y(t))x^{\prime }(t)+Q(x(t),y(t))y^{\prime }(t)]dt$

显函数法：$y=y(x)$，$x$ 从起点 $a$ 到终点 $b$

${\int }_{L}Pdx+Qdy={\int }_a^b[P(x,y(x))+Q(x,y(x))y^{\prime }(x)]dx$

上下限从起点到终点

第二类曲线积分的上下限从起点到终点，不一定从小到大——与第一类曲线积分相反。

格林公式

若有洞，尽量避开洞画出环积分

格林公式：

$\underset{L}{\oint }Pdx+Qdy=\underset{D}{\iint }\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy$
右边被积函数：Q 对 x 偏导 减 P 对 y 偏导（顺序别搞反）

格林公式要点

$L$ 取正向（逆时针方向），可用在复连通域但 $L$ 要包含所有边界

记忆：正向 = 在跑道跑步时，心脏朝向草坪的 跑步方向

定理：设 D 是单连通区域，P,Q 在 D 内有一阶连续偏导数，则以下六条等价：

• ① 与路径无关：${\int }_{L}Pdx+Qdy$ 在 $D$ 内与路径无关，只取决于起点与终点
• ② 闭曲线积分为零：$D$ 内任意闭曲线 $L$，$\underset{L}{\oint }Pdx+Qdy=0$
• ③ 存在原函数：存在连续可微函数 $u(x,y)$，使 $Pdx+Qdy=du=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy$
• ④ 梯度场：$\vec{V}=P\vec{i}+Q\vec{j}=\nabla u$
• ⑤ 全微分方程：$Pdx+Qdy=0$ 是恰当微分方程
• ⑥ 混合偏导相等：$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$ 在 $D$ 内恒成立

等价范围（两种前提）

情况一：$D$ 为平面有界区域，$P,Q$ 在 $D$ 内连续 → 条件 ①~⑤ 等价

情况二：$D$ 为平面单连通区域，$P,Q$ 有连续一阶偏导数 → 条件 ①~⑥ 全部等价

选路法决策树

前提：$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$

单连通域：积分与路径无关，选水平+竖直折线

复连通域：

• 开放线积分：避开洞另选折线
• 封闭环积分绕洞：另选绕洞环积分（常用单位圆）
  • 积分为 0：无效洞（积分与路径无关）
  • 积分不为 0：有效洞（积分与路径有关）

有效洞经典例

$\underset{L}{\oint }\frac{ydx-xdy}{(x^2+y^2{)}^2}\ne 0$，原点为有效洞。

选新路径时不需要提前判别有效/无效洞——只需判断 $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$ 是否成立，然后选路径避开洞或绕洞积分。

使用条件

条件不满足时的应对

① $P,Q$ 在 $D$ 上有连续偏导数（奇点处不满足）

② $L$ 是 $D$ 的正向边界（逆时针方向）

不满足时的处理：

• 不封闭 → 补一段弧使 $L$ 封闭，用完减掉
• 复连通 → 取所有边界的正向
• 有奇点 → 挖小圆绕开，原积分等于绕奇点的小圆积分

证明思路

① 先证 X 型区域 —— 证 $P$ 部分

设 $D$ 为 X 型区域：$D=\{(x,y)\mid a\le x\le b,{\phi }_1(x)\le y\le {\phi }_2(x)\}$。正向边界 $L$ 拆成两段：

• 下边界 $L_1$：$y={\phi }_1(x)$，$x$ 从 $a\to b$（逆时针）
• 上边界 $L_2$：$y={\phi }_2(x)$，$x$ 从 $b\to a$（逆时针”往回走”）

第一步：二重积分先积 $y$（$x$ 当常数）

$\underset{D}{\iint }\frac{\partial P}{\partial y}dxdy={\int }_a^b\left[{\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}\frac{\partial P}{\partial y}dy\right]dx={\int }_a^b\left[P\right(x,{\phi }_2(x))-P(x,{\phi }_1(x)\left)\right]dx$

这一步是证明的核心机制

内层把 $x$ 当常数，$\frac{\partial P}{\partial y}$ 对 $y$ 用牛顿-莱布尼茨，直接得到 $P$ 在上、下边界处的函数值之差——二重积分在这里”降维”成边界函数之差，这就是面积分能与曲线积分相等的根源。

第二步：曲线积分拆上下两段

X 型区域左右两侧是竖直线段，沿它们 $dx=0$，对 $\underset{L}{\oint }Pdx$ 无贡献，只剩上下两段：

$\underset{L}{\oint }Pdx={\int }_a^{b}P(x,{\phi }_1(x))dx+{\int }_b^{a}P(x,{\phi }_2(x))dx$

（$L_1$ 逆时针 $x$ 从 $a\to b$；$L_2$ 逆时针 $x$ 从 $b\to a$，故第二项上限小于下限）

$={\int }_a^b\left[P\right(x,{\phi }_1(x))-P(x,{\phi }_2(x)\left)\right]dx$

第三步：对比前两步结果

$\underset{L}{\oint }Pdx=-\underset{D}{\iint }\frac{\partial P}{\partial y}dxdy$

负号的来源（最易卡壳处）

上边界 $L_2$ 逆时针定向时 $x$ 从 $b\to a$，换回 $a\to b$ 的下限就多出负号。所以 $P$ 部分是 $\underset{L}{\oint }Pdx=-\underset{D}{\iint }\frac{\partial P}{\partial y}$——负号由定向决定，不是硬背的。

② 同理证 Y 型区域 —— 证 $Q$ 部分

设 $D$ 为 Y 型区域：$D=\{(x,y)\mid c\le y\le d,{\psi }_1(y)\le x\le {\psi }_2(y)\}$。

第一步：二重积分先积 $x$（$y$ 当常数）

$\underset{D}{\iint }\frac{\partial Q}{\partial x}dxdy={\int }_c^d\left[{\int }_{{\psi }_1(y)}^{{\psi }_2(y)}\frac{\partial Q}{\partial x}dx\right]dy={\int }_c^d\left[Q\right({\psi }_2(y),y)-Q({\psi }_1(y),y\left)\right]dy$

第二步：曲线积分拆左右两段

Y 型区域上下两侧是水平线段，沿它们 $dy=0$，对 $\underset{L}{\oint }Qdy$ 无贡献，只剩左右两段：

$\underset{L}{\oint }Qdy={\int }_d^{c}Q({\psi }_1(y),y)dy+{\int }_c^{d}Q({\psi }_2(y),y)dy$

（左边界逆时针 $y$ 从 $d\to c$，故第一项上限小于下限）

$={\int }_c^d\left[Q\right({\psi }_2(y),y)-Q({\psi }_1(y),y\left)\right]dy=\underset{D}{\iint }\frac{\partial Q}{\partial x}dxdy$

③ 两式相加得格林公式

$\underset{L}{\oint }Pdx+Qdy=\underset{D}{\iint }\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy$

为什么能拆开加

曲线积分与二重积分都满足可加性，$P$ 部分（X 型证出）与 $Q$ 部分（Y 型证出）互不干扰、相加即可。

所以记忆公式也可拆成两块记： $\underset{L}{\oint }Pdx=-\underset{D}{\iint }{P}_y$ $\underset{L}{\oint }Qdy=\underset{D}{\iint }{Q}_x$。

④ 推广到一般区域

任意闭区域沿辅助线切割成若干 X 型 / Y 型小块 $D_1,\dots ,D_n$：

• 每块用已证的格林公式，对所有小块求和

• 右边：$\sum \underset{D_i}{\iint }=\underset{D}{\iint }$（二重积分可加性）

• 左边：内部切割线成对出现、走向相反，积分恰好抵消，只剩外边界正向积分

$\underset{L}{\oint }Pdx+Qdy=\underset{D}{\iint }\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy$

内部切割线积分可抵消

如图, 上述积分区域 (逆时针) 在 临界处 的 线积分 会互相抵消

典型用法

① 化曲线积分为二重积分

例：化曲线积分为二重积分

计算 $\underset{L}{\oint }{x}^{2}ydx-x{y}^{2}dy$，$L$ 为单位圆正向。

取 $P=x^{2}y,Q=-x{y}^2$：

$\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=-y^2-x^2$

$\underset{L}{\oint }{x}^{2}ydx-x{y}^{2}dy=\underset{D}{\iint }-(x^2+y^2)dxdy=-{\int }_0^{2\pi }{\int }_0^1{r}^{3}drd\theta =-\frac{\pi }{2}$

② 用格林公式求面积

面积公式

取 $P=-\frac{y}{2}$、$Q=\frac{x}{2}$ 代入格林公式：

$A=\frac{1}{2}\underset{L}{\oint }xdy-ydx$

适合参数方程曲线（星形线、椭圆等）围成的面积，比直接算二重积分快。

③ 路径无关时求原函数（三种方法）

前提

$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$ 成立时，$Pdx+Qdy$ 是某函数 $u$ 的全微分，求 $u$ 有三种方法：

方法一：折线积分法

路径取”先横后竖”折线（$O\to A(x_0,0)\to B(x,y)$，$x_0$ 取定义域内方便的点，常用 0）：

$u(x,y)={\int }_{x_0}^{x}P(t,0)dt+{\int }_0^{y}Q(x,t)dt$

沿 $OA$ 只有 $dx$ 项（$dy=0$），沿 $AB$ 只有 $dy$ 项（$dx=0$）。

例：折线法

求 $2x{y}^{3}dx+3x^2{y}^{2}dy$ 的原函数。$\frac{\partial P}{\partial y}=6x{y}^2=\frac{\partial Q}{\partial x}$ ✓

$u={\int }_0^{x}2t\cdot 0^{3}dt+{\int }_0^{y}3x^2{t}^{2}dt=x^2{y}^3+C$

方法二：不定积分法（待定函数）

先对 $x$ 积分（$y$ 当常数）得 $u=\int Pdx+\phi (y)$，再令 $\frac{\partial u}{\partial y}=Q$ 定出 ${\phi }^{\prime }(y)$。

例：待定函数法

求 $x{y}^{2}dx+x^{2}ydy$ 的原函数。

$u=\int x{y}^{2}dx=\frac{1}{2}{x}^2{y}^2+\phi (y)$

$\frac{\partial u}{\partial y}=x^{2}y+{\phi }^{\prime }(y)=x^{2}y\Rightarrow {\phi }^{\prime }(y)=0$，故 $u=\frac{1}{2}{x}^2{y}^2+C$

方法三：凑微分法（观察法）

把 $Pdx+Qdy$ 分组凑成 $d[\cdots ]$ 的组合，适合结构明显的式子。

例：凑微分法

求 $\frac{2x(1-e^y)}{(1+x^2{)}^2}dx+\frac{e^y}{1+x^2}dy$ 的原函数。$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{-2x{e}^y}{(1+x^2{)}^2}$ ✓

观察两个现成的微分：

$d\left(\frac{e^y}{1+x^2}\right)=\frac{-2x{e}^y}{(1+x^2{)}^2}dx+\frac{e^y}{1+x^2}dy,d\left(\frac{-1}{1+x^2}\right)=\frac{2x}{(1+x^2{)}^2}dx$

相加后 $dx$ 项合并为 $\frac{2x-2x{e}^y}{(1+x^2{)}^2}=\frac{2x(1-e^y)}{(1+x^2{)}^2}$：

$d\left(\frac{e^y-1}{1+x^2}\right)=\frac{2x(1-e^y)}{(1+x^2{)}^2}dx+\frac{e^y}{1+x^2}dy$

$u=\frac{e^y-1}{1+x^2}+C$

物理直觉：重力做功与路径无关

物体沿任意光滑曲线 $L$ 从 $A$ 移到 $B$（$z$ 轴铅直向上，$\vec{F}=(0,0,-mg)$）：

$W={\int }_L(-mg)dz=-mg{\int }_{\alpha }^{\beta }{z}^{\prime }(t)dt=mg(z_1-z_2)$

做功只取决于高度差、与路径形状无关——这正是”梯度场做功只依赖端点”（条件 ①）的物理原型：重力场 $\vec{F}=\nabla (-mgz)$ 是势函数 $-mgz$ 的梯度场。

2006 数一真题

齐次函数 + 格林公式

题目：设 $f(x,y)$ 在 $D=\{(x,y)\mid y>0\}$ 内一阶偏导连续，且对任意 $t>0$ 有 $f(tx,ty)=t^{-2}f(x,y)$。证明：对 $D$ 内任意分段光滑的有向简单闭曲线 $L$，均有

$\underset{L}{\oint }yf(x,y)dx-xf(x,y)dy=0$

分析：取 $P=yf,Q=-xf$。$D$（上半平面）单连通、$P,Q$ 一阶偏导连续，由等价定理（②⟺⑥），只需证 $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$；这个关系将由齐次条件”对 $t$ 求导、令 $t=1$“给出。

证明：记 $f_1^{\prime }=\frac{\partial f}{\partial x}$、$f_2^{\prime }=\frac{\partial f}{\partial y}$，则

$\frac{\partial P}{\partial y}=f+y{f}_2^{\prime },\frac{\partial Q}{\partial x}=-f-x{f}_1^{\prime }$

两式相等 ⟺ $x{f}_1^{\prime }+y{f}_2^{\prime }=-2f$。对 $f(tx,ty)=t^{-2}f(x,y)$ 两边关于 $t$ 求偏导：

$x{f}_1^{\prime }(tx,ty)+y{f}_2^{\prime }(tx,ty)=-2t^{-3}f(x,y)$

令 $t=1$ 得 $x{f}_1^{\prime }+y{f}_2^{\prime }=-2f$，故 $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$ 恒成立，原积分 $=0$，证毕。∎

题型识别：结论是”任意闭曲线积分为 0” → 走格林公式路线——由等价定理，只需证混合偏导相等（⑥）；条件 $f(tx,ty)=t^{-2}f(x,y)$ 是齐次函数，对 $t$ 求导再令 $t=1$ 恰好给出这个关系。看到 $t$ 的幂次关系，就”两边对 $t$ 求导、令 $t=1$” ——这是处理齐次条件的万能起手式。

齐次函数的 Euler 关系

若 $f(tx,ty)=t^{k}f(x,y)$（$k$ 次齐次函数），两边对 $t$ 求导再令 $t=1$：

$x{f}_1^{\prime }(x,y)+y{f}_2^{\prime }(x,y)=kf(x,y)$

记忆：左边”$x$ 乘 $f_1^{\prime }$ + $y$ 乘 $f_2^{\prime }$“，右边”次数 $k$ × 原函数”。本题 $k=-2$。

三维面

求解 二类面积分 的本质就是： 利用物理定义求 面流量，正交分解两向量 再分别乘积

投影面（参数化）

以 $\underset{\Sigma }{\iint }P(x,y,z)dydz$ 为例：

1. 将曲面 $\Sigma$ 向 $yoz$ 面投影得到 $D_{yz}$，将 $x$ 表示为 $x=x(y,z)$

2. 根据方向取符号：前侧取 $+$，后侧取 $-$

$\underset{\Sigma }{\iint }P(x,y,z)dydz=\pm \underset{D_{yz}}{\iint }P[x(y,z),y,z]dydz$

同理：

$\underset{\Sigma }{\iint }Qdzdx$ 向 $zox$ 面投影（右侧 $+$，左侧 $-$）；

$\underset{\Sigma }{\iint }Rdxdy$ 向 $xoy$ 面投影（上侧 $+$，下侧 $-$）

投影符号的严格判据（cos 判号）

小块 $\Delta S$ 在 $xOy$ 面的 有向投影 由法向量与 $z$ 轴正向夹角的余弦确定：

$(\Delta S{)}_{xy}=\{\begin{array}{ll}+(\Delta \sigma {)}_{xy},& \cos \gamma >0\text{（上侧）}\\ -(\Delta \sigma {)}_{xy},& \cos \gamma <0\text{（下侧）}\\ 0,& \cos \gamma \equiv 0\end{array}$

偶零奇倍

积分域关于某坐标面对称时

被积函数关于另一轴为偶 则积分为 0；为奇 则 2 倍半域积分

第二类积分带方向，两边投影符号相反：偶函数两片异号相消，奇函数两片同号相加。

注意两点：

① 积分域的形状和方向都要关于该坐标面对称（一片取上侧、一片取下侧）

② 分量要对准：$\iint Pdydz$ 看 $P$ 关于 $x$，$\iint Qdzdx$ 看 $Q$ 关于 $y$，$\iint Rdxdy$ 看 $R$ 关于 $z$

例：球面外侧 $\underset{\Sigma }{\iint }zdxdy$，$z$ 为奇函数 → 上下两片同号相加 $=2$ 倍单片 $=\frac{4\pi }{3}$

高斯公式

流过一个 封闭体面上的 通量 等同于 该封闭体内 所有体积微元 流过的通量

公式如下

$$\oint \oint Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\pm \underset{\Omega }{\iiint }\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dv$$

注意

边界曲面是有法向量的，如果朝外侧，则积分符号正；若是朝里侧，则积分符号为负

高斯公式使用技巧

若被积函数有奇点（分母为 0 的点），先把积分区域带入被积函数消除分母，再使用高斯公式。

不封闭的曲面：加减曲面片使其封闭，用完高斯公式后减去补的面。

使用条件

高斯公式三条件

① $P,Q,R$ 在 $\Omega$ 上有连续偏导数

② $\Sigma$ 是封闭曲面，取外侧

③ $\Omega$ 内无奇点（分母为 0 的点）

不封闭 → 补面；

有奇点 → 先代入区域消分母，或挖小球绕开。

典型例题

例：单位球面外侧的通量

计算 $\underset{\Sigma }{\oint \oint }{x}^{3}dydz+y^{3}dzdx+z^{3}dxdy$，$\Sigma$ 为单位球面外侧。

高斯公式（$P=x^3,Q=y^3,R=z^3$，$\mathrm{div}\vec{F}=3(x^2+y^2+z^2)$）：

$\underset{\Omega }{\iiint }3(x^2+y^2+z^2)dV=3{\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\pi }{\int }_0^1{r}^4\sin \phi drd\phi d\theta =3\cdot \frac{4\pi }{5}=\frac{12\pi }{5}$

球坐标中 $r^4\sin \phi$ 来自 $r^2\cdot r^2\sin \phi$（被积函数 $\times$ 体积微元）。

方法汇总

一定要给 $\vec{n}$(单位向量) の 分母 取 根号

方法 1：直接投影法（最基础）——分别投影三个积分、按 法向量 方向 取符号（见上方”计算法”）。适用：曲面简单、分片少、不闭合。

方法 2：高斯公式（最重要）——闭合曲面取外侧、$P,Q,R$ 连续一阶偏导；不闭合先补面。详见上方”高斯公式”小节。

方法 3：换面法（统一投影到 xOy）——曲面写成 $z=z(x,y)$ 由 $d\vec{S}$ 的投影关系：

$dydz=-z_x^{\prime }dxdy,dzdx=-z_y^{\prime }dxdy$
$\underset{\Sigma }{\iint }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\underset{D_{xy}}{\iint }(-P{z}_x^{\prime }-Q{z}_y^{\prime }+R)\pm dxdy$

方法 3 的原理：二类转一类 + 代入方向余弦

二类转一类（理论恒等式，后续 dS 还要化成二重积分）：

$\underset{\Sigma }{\iint }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\underset{\Sigma }{\iint }(P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )dS$

换面法就是”过桥后落地”：把方向余弦代入（上侧为例：$\cos \alpha dS=-z_x^{\prime }dxdy$，$\cos \beta dS=-z_y^{\prime }dxdy$，$\cos \gamma dS=dxdy$），直接落成平面二重积分（公式同上）。

总结：二类转一类是”换马甲”，换面法是”直接落地”——后者是前者 代入化简的结果，结果必然相同，但省去处理 $dS$ 的中间步骤。

换面法易混点： $dxdy$ 是有向投影元素

换面法里的 $dxdy$ 已经是投影到 $xOy$ 面的有向面积元素：$dxdy=\cos \gamma \cdot dS$，上侧取正、下侧取负（$\cos \gamma <0$ 时即 $\cos \gamma dS=-dxdy$）。

因此符号已被 $dxdy$ 吸收，落成二重积分时无需再额外判号——若把 $dxdy$ 当普通正面积元素，才需要显式判上侧 $+$、下侧 $-$（即上方公式里的 $\pm$）。两种看法等价、二选一，别重复判号（写题易混点）。

整个逻辑链（$dS$ 全程不出现，“直接落地”的含义）：

$\underset{\Sigma }{\iint }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy$

$=\underset{\Sigma }{\iint }(P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )dS\text{（二类转一类）}$

$=\underset{D_{xy}}{\iint }(-P{z}_x^{\prime }-Q{z}_y^{\prime }+R)dxdy\text{（代入比值后直接落地）}$

注意 灵活变通，如果二类面本身的面积就很好算，不需要把曲面投影到坐标轴面上

方法 4：对称性（快速化简）——见上方”偶零奇倍”（偶 → 0，奇 → 2 倍）；

球面、锥面等对称曲面还可轮换对称：$\underset{\Sigma }{\iint }xdydz=\underset{\Sigma }{\iint }ydzdx=\underset{\Sigma }{\iint }zdxdy$。

快速选择口诀：

闭合曲面、外侧、散度简单 → 直接高斯；

不闭合但好补面 → 补面 + 高斯；

曲面简单、分片少 → 直接投影；

曲面能用 $z=z(x,y)$ 一个式子表示 → 换面法；

有明显奇偶性 → 先对称化简。

典型例题

例 1：长方体表面外侧（直接投影法）

计算 $\underset{\Sigma }{\iint }{x}^{2}dydz+y^{2}dzdx+z^{2}dxdy$，$\Sigma$ 为长方体 $\Omega =[0,a]\times [0,b]\times [0,c]$ 的表面外侧。

六个面分别算，每组分量只有两个面非零（其余在对应坐标面上投影为 0）：

• $x=a$ 前侧（$x=0$ 后侧为零）：$\underset{D_{yz}}{\iint }{a}^{2}dydz=a^{2}bc$
• $y=b$ 右侧：$b^{2}ac$；$z=c$ 上侧：$c^{2}ab$

$I=a^{2}bc+b^{2}ac+c^{2}ab=(a+b+c)abc$

例 2：球面第一卦限外侧（投影法 + 极坐标）

计算 $\underset{\Sigma }{\iint }xyzdxdy$，$\Sigma$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 在 $x\ge 0,y\ge 0$ 的部分的外侧。

待补图：例 2 示意图（Part3 图 10.29）：球面第一卦限外侧，拆上下两片 ${\Sigma }_1$（上侧 $z=+\sqrt{1-x^2-y^2}$）、${\Sigma }_2$（下侧 $z=-\sqrt{1-x^2-y^2}$），$D_{xy}:x\ge 0,y\ge 0,x^2+y^2\le 1$。

下侧带负号、被积函数也为负 → 两片贡献相同，$I=2I_1$：

$I=2{\iint }_{D_{xy}}xy\sqrt{1-x^2-y^2}dxdy=2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\int }_0^1\sin \theta \cos \theta r^3\sqrt{1-r^2}drd\theta =\frac{2}{15}$

（${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin \theta \cos \theta d\theta =\frac{1}{2}$，${\int }_0^1{r}^3\sqrt{1-r^2}dr=\frac{2}{15}$）

例 3：第二类化第一类（单位球面外法向）

求 $\underset{S}{\oint \oint }\vec{F}\cdot \vec{n}dS$，$\vec{F}=\frac{(x,y,z)}{(x^2+y^2+z^2{)}^{3/2}}$，$S$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=R^2$。

球面外法向 $\vec{n}=\frac{(x,y,z)}{R}$，于是 $\vec{F}\cdot \vec{n}=\frac{x^2+y^2+z^2}{R^4}=\frac{1}{R^2}$ 恰为常数：

$\underset{S}{\oint \oint }\vec{F}\cdot \vec{n}dS=\frac{1}{R^2}\cdot 4\pi R^2=4\pi$

思路：先按”第二类 = 第一类投影版”化成第一类——恰好常数才这么巧，一般还要再投影成二重积分计算。

三维线

推荐直接记 微分算子的 矩阵表达式（下图证明 1）

斯托克斯公式

$\underset{\Gamma }{\oint }Pdx+Qdy+Rdz=\underset{\Sigma }{\iint }\left|\begin{array}{ccc}dydz& dzdx& dxdy\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}\right|$

展开：

$\underset{\Gamma }{\oint }Pdx+Qdy+Rdz=\underset{\Sigma }{\iint }\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)dydz+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)dzdx+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy$

斯托克斯公式要点

• $\Gamma$ 为空间有向闭曲线，$\Sigma$ 是以 $\Gamma$ 为边界的曲面
• $\Gamma$ 的正向与 $\Sigma$ 的侧符合右手规则
• 本质是旋度在曲面法方向的积分：$\underset{\Gamma }{\oint }\vec{F}\cdot d\vec{l}=\underset{\Sigma }{\iint }(rot\vec{F})\cdot \vec{n}dS$
• 与格林公式的关系：格林公式是斯托克斯公式在 $z=0$ 平面的特例

行列式记忆

两种等价写法

① 投影形式（三组 $dydz$、$dzdx$、$dxdy$）——用于直接投影计算

② 方向余弦形式（记法更对称）：

$\underset{\Sigma }{\iint }\left|\begin{array}{ccc}\cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}\right|dS$

公式代入

降维 或 寻找原函数 （积分与路径无关，则封闭曲线积分为 0）

典型例题

例：平面与球面交线（大圆）上的环量

计算 $\underset{\Gamma }{\oint }(z-y)dx+(x-z)dy+(y-x)dz$，$\Gamma$ 为平面 $x+y+z=0$ 与球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 的交线。

$P=z-y,Q=x-z,R=y-x$，旋度：

$rot\vec{F}=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)=(2,2,2)$

平面法向量 $\vec{n}=\frac{(1,1,1)}{\sqrt{3}}$，取 $\Sigma$ 为平面内圆盘（半径 $a$，面积 $\pi a^2$）：

$\underset{\Gamma }{\oint }\vec{F}\cdot d\vec{l}=\underset{\Sigma }{\iint }rot\vec{F}\cdot \vec{n}dS=\frac{6}{\sqrt{3}}\cdot \pi a^2=2\sqrt{3}\pi a^2$

交线过球心，是球的大圆；方向按右手规则定向。