带根号型

整体换元

根号下是一次式 $\sqrt{ax+b}$，直接令 $t=\sqrt{ax+b}$ 换元

$\int \sqrt{2x+1},dx\Rightarrow t=\sqrt{2x+1}$

三角换元

根号下是二次式，根据形式用三角换元：

形式	换元
$\sqrt{a^2-x^2}$	$x=a\sin t$
$\sqrt{a^2+x^2}$	$x=a\tan t$
$\sqrt{x^2-a^2}$	$x=a\sec t$

配方法—三角换元

根号下含 $x^2$ 但配方后是上面的形式，先配方，再三角换元

$\sqrt{x^2+2x}=\sqrt{(x+1{)}^2-1}$

最小公指数换元

被积函数含 $\sqrt[n]{ax+b}$ 或多个根号，令 $t=\sqrt[n]{ax+b}$，或取公共最小根指数换元

$\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x}},dx\Rightarrow t=x^{1/6}$

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总原则：换元的目标就是把根号消掉，让被积函数变成有理函数。