反常积分

定义

常义积分（黎曼积分）要求两个条件：积分区间有限 且 被积函数有界。打破任一条件就是反常积分。

类型	打破了什么	长什么样	本质
第一类：无穷区间	区间有限	${\int }_0^{+\infty }$、${\int }_{-\infty }^{+\infty }$	“开口”
第二类：无界函数（瑕积分）	函数有界	${\int }_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}dx$，$x=0$ 处爆炸	”火山口”

本质类比

无穷区间的”开口”和无界函数的”火山口”本质相同——都是在用极限去”收拢”一个发散的端点。处理方式也完全一样：把问题端点替换成变量，取极限。

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第一类反常

无穷区间上的积分

三种开口形式

开口方向	定义	操作
右侧开口 ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$	$\underset{t\to +\infty }{\lim }{\int }_a^{t}f(x)dx$	算完原函数，令上限取极限
左侧开口 ${\int }_{-\infty }^{b}f(x)dx$	$\underset{t\to -\infty }{\lim }{\int }_t^{b}f(x)dx$	算完原函数，令下限取极限
双侧开口 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx$	${\int }_{-\infty }^c+{\int }_c^{+\infty }$（$c$ 任取，常选 $0$）	必须拆成两个单开口，两者都收敛才算收敛

双开口必须拆！

双侧有开口时，绝对不能 直接代入上下限。必须选一个中间点 $c$ 拆成两个单开口积分，分别判断。

p-积分

$${\int }_1^{+\infty }\frac{1}{x^p}dx=\{\begin{array}{ll}\text{收敛},& p>1\\ \text{发散},& p\le 1\end{array}$$

这是判敛时最常用的”标尺”—— 比较判别法 就是把目标函数跟 $\frac{1}{x^p}$ 去比。

偶倍奇零

普通定积分中，奇函数在对称区间积分为 $0$，偶函数对称区间积分加倍。

但在反常积分中，该结论 不能直接用。

反例：${\int }_{-\infty }^{+\infty }{x}^{3}dx$，虽然 $x^3$ 是奇函数，但拆开后 ${\int }_0^{+\infty }{x}^{3}dx$ 发散，整体发散。

什么时候能用？

&{\color{#7ee787}{\text{只要单侧开口（半区间）收敛}}}\text{ \quad 就可以用偶倍奇零：} \\ \\ &f(x)\text{连续奇函数，且}\int_0^{+\infty} f(x)\,\,dx\text{收敛}\Rightarrow \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,\,dx = 0 \\ \\ &f(x)\text{连续偶函数，且}\int_0^{+\infty} f(x)\,\,dx\text{收敛}\Rightarrow \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,\,dx = 2\int_0^{+\infty} f(x)\,\,dx \end{align}$$

积分区域 同 被积函数 不耦合，变量任意取

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第二类反常

无界函数的瑕积分

瑕点的识别

若 $f(x)$ 在 $x_0$ 的任意邻域内无界（$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\infty$），则 $x_0$ 为 瑕点

识别要点

&\text{检查积分端点是否使函数无界} \\ \\ &\text{检查分母为零的点是否使函数趋于无穷} \\ \\ &\color{#ffa657}{\text{分母为零不一定是瑕点}}\text{（如}\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1\text{，极限存在，不是瑕点）} \end{align}$$

三种瑕点位置

瑕点位置	定义	操作
右端点 $x=b$	$\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }{\int }_a^{b-\epsilon }f(x)dx$	上限从左侧逼近瑕点
左端点 $x=a$	$\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }{\int }_{a+\epsilon }^{b}f(x)dx$	下限从右侧逼近瑕点
内部瑕点	拆分为 ${\int }_a^c+{\int }_c^b$	看似一个”火山口”，实则是隐藏的双开口，必须拆分

内部瑕点 = 隐藏的双开口

即使积分区间看起来只有一个开口，也必须在该点处拆成两个积分，两侧极限独立存在才算收敛。

q-积分

$${\int }_a^b\frac{1}{(x-a{)}^q}dx=\{\begin{array}{ll}\text{收敛},& q<1\\ \text{发散},& q\ge 1\end{array}$$

p 和 q 的记忆口诀

&\textbf{p > 1 收敛}\text{（无穷区间，指数大才压得住）} \\ \\ &\textbf{q < 1 收敛}\text{（瑕积分，指数小才炸得慢）} \\ \\ &\text{一个要"大"，一个要"小"，别搞反了。} \end{align}$$

p级数

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判敛方法

比较判别法

核心思路：找一个已知敛散性的”参照函数”来比较。

无穷区间常用参照：$\frac{1}{x^p}$（$p>1$ 收敛）

瑕积分常用参照：$\frac{1}{(x-a{)}^q}$（$q<1$ 收敛）

操作步骤

&\text{1. 判断}x \to +\infty\text{（或}x \to \text{瑕点）时}f(x)\text{的等价形式} \\ \\ &\text{2. 找到对应的}p\text{或}q \\ \\ &\text{3. 用比较判别法的极限形式确认} \end{align}$$

极限比较判别法

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=L(0<L<+\infty )$

则 $f(x)$ 和 $g(x)$ 同敛散

偶倍奇零

若 $f(x)$ 是偶函数且 ${\int }_0^{+\infty }f(x)dx$ 收敛，则 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx$ 收敛（偶倍）。

若 $f(x)$ 是奇函数且 ${\int }_0^{+\infty }f(x)dx$ 收敛，则 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=0$（奇零）。

奇偶性在瑕积分中也适用

只要单侧开口收敛，对称区间上奇函数积分 = $0$，偶函数积分 = 半区间的 $2$ 倍。

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变量代换

核心原则

反常积分 允许直接换元。若换元后变为常义积分（区间有限、函数有界），则无需拆分。

综合例题

${\int }_0^{+\infty }\frac{1}{(1+x^2{)}^2}dx$

含两种反常：$x=0$ 处正常，$+\infty$ 为无穷区间。令 $x=\tan t$，则 $dx={\sec }^{2}tdt$，积分限 $t:0\to \frac{\pi }{2}$：
${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{{\sec }^{2}t}{{\sec }^{4}t}dt={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{2}tdt=\frac{\pi }{4}$

换元后变成常义积分，直接算。

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重要积分

${\int }_0^{+\infty }{e}^{-x^2}dx$

这个积分 无初等原函数，是考研高频考点。

证明（二重积分技巧）：

设
$I={\int }_0^{+\infty }{e}^{-x^2}dx$

则：

$I^2={\int }_0^{+\infty }{e}^{-x^2}dx\cdot {\int }_0^{+\infty }{e}^{-y^2}dy={\int }_0^{+\infty }{\int }_0^{+\infty }{e}^{-(x^2+y^2)}dxdy$

转换为极坐标：

$I^2={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\int }_0^{+\infty }{e}^{-r^2}rdrd\theta =\frac{\pi }{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\pi }{4}$

故 $\boxed{I=\frac{\sqrt{\pi }}{2}}$

衍生结论

&\text{利用上述结论与分部积分可得：} \\ \\ &\int_0^{+\infty} x \, e^{-x^2}\,dx = \frac{1}{2} \\ \\ &\int_0^{+\infty} x^2 e^{-x^2}\,dx = \frac{\sqrt{\pi}}{4} \\ \\ &\text{更高阶形式对应伽马函数}\Gamma(n)\text{，在概率论（正态分布）中有重要应用} \end{align}$$

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真题精选

2008年真题

${\int }_0^{+\infty }\frac{x}{(1+x^2{)}^2}dx$

部分分式 分解后得 $\frac{1}{2}$，收敛。

2019年选择题

判断哪个积分发散 ?

选项	积分	结论
A	${\int }_0^{1}x\ln xdx$	分部积分得值有限，收敛
B	${\int }_0^{+\infty }x{e}^{-x}dx$	已知为 $1$，收敛
C	${\int }_1^{+\infty }\frac{1}{x^2}dx$	$p=2>1$，收敛
D	${\int }_0^{+\infty }\frac{1}{x}dx$	$p=1\le 1$，发散

综合判断题

判断下列说法的正误：

序号	命题	判定	理由
①	${\int }_{-1}^1\frac{1}{x}dx=0$	错误	$x=0$ 为瑕点，拆分后半区间发散，整体发散
②	${\int }_{-1}^1\frac{\sin x}{x}dx=0$	正确	$x=0$ 处极限为 $1$，非瑕点，是常义积分，奇函数对称区间 = $0$
③	${\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{x}{1+x^2}dx=0$	错误	$\frac{x}{1+x^2}\sim \frac{1}{x}$，半区间发散，整体发散
④	${\int }_{-1}^1\frac{1}{x^3}dx=0$	错误	$x=0$ 为瑕点，拆分后两侧均发散

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解题流程总结

拿到反常积分题的思考顺序

&\textbf{识别类型}\text{：无穷区间？瑕点？还是混合？} \\ \\ &\textbf{数开口}\text{：双开口}\to\text{必须拆成单开口} \\ \\ &\textbf{找瑕点}\text{：端点无界？内部分母为零？} \\ \\ &\textbf{选方法}\text{：能算值就直接算；算不了就用比较判别法} \\ \\ &\textbf{检查偶倍奇零}\text{：对称区间先看是否反常，再看半区间是否收敛} \\ \\ &\textbf{考虑换元}\text{：反常积分允许直接换元，可能简化为常义积分} \end{align}$$