三角函数型

常用三角积分公式

基本公式

$\int \tan xdx=-\ln |\cos x|+C\int \cot xdx=\ln |\sin x|+C$

$\int \sec xdx=\ln |\sec x+\tan x|+C\int \csc xdx=\ln |\csc x-\cot x|+C$

$\int {\sec }^{2}xdx=\tan x+C\int {\csc }^{2}xdx=-\cot x+C$

$\int \sec x\tan xdx=\sec x+C\int \csc x\cot xdx=-\csc x+C$

$sec、\csc$ 只需记一个推导：

$\int \sec xdx=\int \frac{\sec x(\sec x+\tan x)}{\sec x+\tan x}dx=\ln |\sec x+\tan x|+C$

特殊例子

$$\int \frac{1}{{\cos }^{3}x}dx$$

降幂型

$\int {\sin }^{2}xdx=\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}+C\int {\cos }^{2}xdx=\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}+C$

$\int {\tan }^{2}xdx=\tan x-x+C\int {\cot }^{2}xdx=-\cot x-x+C$

$\int \frac{dx}{\sin x\cos x}=\int \frac{2dx}{\sin 2x}=\ln |\tan x|+C$

分母齐次型

$\int \frac{dx}{a^2{\cos }^{2}x+b^2{\sin }^{2}x}=\frac{1}{ab}\arctan \frac{b\tan x}{a}+C(a,b>0)$

$\int \frac{dx}{a^2{\sin }^{2}x-b^2{\cos }^{2}x}=\frac{1}{2ab}\ln \left|\frac{a\tan x-b}{a\tan x+b}\right|+C(a,b>0)$

套路：分子分母同除 ${\cos }^{2}x$， $凑{\sec }^{2}xdx=d(\tan x)$

$化为：\int \frac{du}{\pm a^2{u}^2\pm b^2}$

乘共轭

$1\pm \sin x,1\pm \cos x$ 型（乘共轭）

$\int \frac{dx}{1+\cos x}=\tan \frac{x}{2}+C\int \frac{dx}{1-\cos x}=-\cot \frac{x}{2}+C$

$\int \frac{dx}{1+\sin x}=\tan x-\sec x+C\int \frac{dx}{1-\sin x}=\tan x+\sec x+C$

记忆：乘共轭把分母变成完全平方，如 $\frac{1}{1+\sin x}=\frac{1-\sin x}{{\cos }^{2}x}={\sec }^{2}x-\sec x\tan x$

---

万能代换

$代换因子t=\tan \frac{x}{2}$

$\sin x=\frac{2t}{1+t^2}\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\tan x=\frac{2t}{1-t^2}dx=\frac{2dt}{1+t^2}$

任何 $\sin x,\cos x$ 的有理式都能化为 $t$ 的有理函数，是三角有理式积分的通法。

但计算量大，属于没办法时的最后手段——优先考虑拆分、共轭、辅助角等巧法。

典例

$\int \frac{dx}{a+b\cos x}$

$\int \frac{dx}{a+b\cos x}=\frac{2}{\sqrt{a^2-b^2}}\arctan \left(\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}\tan \frac{x}{2}\right)+C(a^2>b^2)$

$\int \frac{dx}{a+b\cos x}=\frac{1}{\sqrt{b^2-a^2}}\ln \left|\frac{a+b+\sqrt{b^2-a^2}\tan \frac{x}{2}}{a+b-\sqrt{b^2-a^2}\tan \frac{x}{2}}\right|+C(a^2<b^2)$

$\int \frac{dx}{a+b\sin x}$ 完全同理。

举例

题一

$$\int \frac{dx}{2+\sin x}$$

设 $t=\tan \frac{x}{2}$，代入万能公式：

$\int \frac{dx}{2+\sin x}=\int \frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{2+\frac{2t}{1+t^2}}=\int \frac{dt}{t^2+t+1}=\int \frac{dt}{{\left(t+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}}$

$=\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan \frac{2t+1}{\sqrt{3}}+C=\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan \frac{2\tan \frac{x}{2}+1}{\sqrt{3}}+C$

---

线性组合拆分

分子分母都是 $\sin x,\cos x$ 的线性组合时，把分子拆成 $A\cdot$ 分母 $+B\cdot$ 分母的导数，积分变成 $Ax+B\ln |\text{分母}|$。

通用方法

$$\begin{array}{cc}& \int \frac{a\sin x+b\cos x}{c\sin x+d\cos x}dx\\ & \\ & \\ & \text{设}a\sin x+b\cos x=A\underset{\text{分母}}{\underbrace{(c\sin x+d\cos x)}}+B\underset{\text{分母的导数}}{\underbrace{(c\cos x-d\sin x)}}\end{array}$$

比较 $\sin x,\cos x$ 的系数解出 $A,B$，则

$\int \frac{a\sin x+b\cos x}{c\sin x+d\cos x}dx=Ax+B\ln |c\sin x+d\cos x|+C$

特例：分子恰好是分母的导数时 $A=0$，直接得 $\ln |\text{分母}|$。

举例

题一

$$\int \frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx$$

设 $\sin x=A(\sin x+\cos x)+B(\cos x-\sin x)$，比较系数：

$\{\begin{array}{l}A-B=1\\ A+B=0\end{array}⟹A=\frac{1}{2},B=-\frac{1}{2}$

$\int \frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx=\frac{x}{2}-\frac{1}{2}\ln |\sin x+\cos x|+C$

题二

$$\int \frac{2\sin x+\cos x}{\sin x+\cos x}dx$$

设 $2\sin x+\cos x=A(\sin x+\cos x)+B(\cos x-\sin x)$：

$\{\begin{array}{l}A-B=2\\ A+B=1\end{array}⟹A=\frac{3}{2},B=-\frac{1}{2}$

$\int \frac{2\sin x+\cos x}{\sin x+\cos x}dx=\frac{3x}{2}-\frac{1}{2}\ln |\sin x+\cos x|+C$

分子为常数 ,此法失效

$\int \frac{dx}{a\sin x+b\cos x}$ 的分子是 $1$，凑不出线性组合。改用辅助角：

$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\phi ),\tan \phi =\frac{b}{a}$

$\int \frac{dx}{a\sin x+b\cos x}=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\ln \left|\tan \frac{x+\phi }{2}\right|+C$

---

方法选择顺序

1. 分母 二次齐次：同除 ${\cos }^{2}x$，凑 $d(\tan x)$

2. 分子分母线性组合：拆成 $A\cdot 分母$ $+B\cdot d(分母)$

3. $1\pm \sin x,1\pm \cos x$： 乘共轭

4. 分子为常数的一次式：辅助角化 $\csc$ 型

5. 万能代换兜底