瑞利商

考研核心结论

设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，对任意非零列向量 $x\in {\mathbb{R}}^n$，其瑞利商定义为：
$R(x)=\frac{x^{T}Ax}{x^{T}x}$
四大必背结论：

1. ${\lambda }_{\min }(A)\le \frac{x^{T}Ax}{x^{T}x}\le {\lambda }_{\max }(A)$

2. $R(x)$ 的最大值为 $A$ 的最大特征值 ${\lambda }_{\max }$，在 $x$ 为对应的特征向量时取得。

3. $R(x)$ 的最小值为 $A$ 的最小特征值 ${\lambda }_{\min }$，在 $x$ 为对应的特征向量时取得。

4. $R(x)$ 的所有驻点（临界点）就是矩阵 $A$ 的特征向量。

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经典推导方法

考研中最推荐用 实对称矩阵的 正交对角化 来推导

证明极值范围

（${\lambda }_{\min }\le R(x)\le {\lambda }_{\max }$）

推导步骤：

1. 正交对角化：
   因为 $A$ 为实对称矩阵，必存在正交矩阵 $P$（满足 $P^{T}P=I$），使得：
   $P^{T}AP=\Lambda =\text{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n)$

2. 其中 ${\lambda }_1\le {\lambda }_2\le \cdots \le {\lambda }_n$ 为 $A$ 的特征值。

3. 变量代换：

   设 $x=Py$ （由于 $x\ne 0$ 且 $P$ 可逆，故 $y\ne 0$）。

   • 分子： $x^{T}Ax=(Py{)}^{T}A(Py)=y^T(P^{T}AP)y=y^T\Lambda y=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{y}_i^2$
   • 分母： $x^{T}x=(Py{)}^T(Py)=y^T{P}^{T}Py=y^{T}y=\sum _{i=1}^n{y}_i^2$

4. 不等式放大与缩小：

   代入瑞利商表达式：
   $R(x)=\frac{\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{y}_i^2}{\sum _{i=1}^n{y}_i^2}$

   • 求上限：因为 ${\lambda }_i\le {\lambda }_{\max }$，所以：

${\sum }_{i=1}^n{\lambda }_i{y}_i^2\le {\lambda }_{\max }{\sum }_{i=1}^n{y}_i^2⟹R(x)\le \frac{{\lambda }_{\max }\sum y_i^2}{\sum y_i^2}={\lambda }_{\max }$

• 求下限：因为 ${\lambda }_i\ge {\lambda }_{\min }$，所以：
  ${\sum }_{i=1}^n{\lambda }_i{y}_i^2\ge {\lambda }_{\min }{\sum }_{i=1}^n{y}_i^2⟹R(x)\ge \frac{{\lambda }_{\min }\sum y_i^2}{\sum y_i^2}={\lambda }_{\min }$

证毕

${\lambda }_{\min }\le \frac{x^{T}Ax}{x^{T}x}\le {\lambda }_{\max }$

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进阶推导方法

若大题要求“证明驻点即为特征向量”，可采用 拉格朗日乘子法

问题转化

因为向量 $x$ 的模长放大或缩小不影响瑞利商的值（比值不变）

我们可以引入约束条件 $x^{T}x=1$

原极值问题转化为带约束的条件极值问题：
${\max }_x(x^{T}Ax)\text{s.t.}{x}^{T}x=1$

构造拉格朗日函数

$L(x,\lambda )=x^{T}Ax-\lambda (x^{T}x-1)$

求偏导并令其为 0

利用实二次型求导公式 $\frac{\partial (x^{T}Ax)}{\partial x}=2Ax$：

$\frac{\partial L}{\partial x}=2Ax-2\lambda x=0$

约去 $2$ 得：
$Ax=\lambda x$

考研结论解读

• 式子 $Ax=\lambda x$ 表明：驻点 $x$ 必须是矩阵 $A$ 的特征向量，拉格朗日乘子 $\lambda$ 即为对应的特征值。
• 此时目标函数值 $x^{T}Ax=x^T(\lambda x)=\lambda (x^{T}x)=\lambda$。
• 因此，瑞利商的最大值就是最大特征值 ${\lambda }_{\max }$，最小值就是最小特征值 ${\lambda }_{\min }$。