微分算子法

定义

$\nabla$ 这个玩意就是缺省了导函数的 向量，

具体作用：

$\nabla$ 和 矢量场 函数 点积 可以得到 散度 （标量）

$\nabla$ 和 矢量场 函数 叉乘 可以得到 旋度 （矢量）

真题

引言：算子与特征值

微分算子法的底层逻辑：把求导当成算子（线性变换），函数当成”向量”——算子函数作用在特征函数上，直接代换特征值。

类比线性代数：$Av=\lambda v$ 中 $\lambda$ 是矩阵 $A$ 的特征值、$v$ 是特征向量。微积分里同样成立：把函数 $f(x)$ 看作”向量”，把线性变换 $xD$ 看作”算子”，它作用在单项式 $x^n$ 上：

$(xD)x^n=x\cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^n)=x\cdot n{x}^{n-1}=n{x}^n$

结果正好是常数 $n$ 乘以 $x^n$ 本身——$x^n$ 是算子 $xD$ 的特征函数（相当于特征向量），指数 $n$ 是特征值。

比如 $xD{x}^2=2x^2$：这里的函数是 $x^2$（$n=2$），所以算子 $xD$ 作用在它上面的特征值就是 $2$。

于是任何由 $xD$ 构成的算子函数 $F(xD)$ 作用在 $x^2$ 上时，都可以把 $xD$ 直接替换成它的特征值 $2$：

$F(xD)x^2=F(2)x^2$

比如计算 $\frac{1}{xD+1}{x}^2$，算子函数是 $F(xD)=\frac{1}{xD+1}$，直接把特征值 $xD=2$ 代进去：

$y^{\ast }=\frac{1}{xD+1}{x}^2=\frac{1}{2+1}{x}^2=\frac{1}{3}{x}^2$

连积分都不用做，直接用特征值代换秒出特解，既优雅又不容易出错。

同样的思想就是后面指数赋值那招：$D{e}^{kx}=k{e}^{kx}$，$e^{kx}$ 是 $D$ 的特征函数、$k$ 是特征值

所以 $\frac{1}{F(D)}{e}^{kx}=\frac{1}{F(k)}{e}^{kx}$。

二阶常系数方程

算 $\frac{1}{F(D)}$ 只需四招：指数赋值、移位、长除法、三角赋 $D^2=-a^2$；

分母为零（共振）就提 $x$

算子法覆盖约 90% 的常考右端项.

定义

$D$ 表示”求导”这个操作：$D^n$ 是 $n$ 阶求导，$\frac{1}{D}$ 是积分：
$Dx=1,D{x}^2=2x,D^2{x}^2=2,\frac{1}{D}x=\frac{1}{2}{x}^2$
方程 $y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$ 于是写成
$\left(D^2+pD+q\right)y=f(x)$
令 $F(D)=D^2+pD+q$，特解
$y^{\ast }=\frac{1}{F(D)}f(x)$

为什么可以这样"除"

$D$ 是”求导”操作本身：$D^{2}y=y^{\prime \prime }$、$pDy=p{y}^{\prime }$、$q$ 看成 $q{D}^{0}y$ 就是 $qy$。左边因数分解成 $F(D)$ 作用于 $y$，形式和代数方程一样了。

算子法的全部技巧就是：把 $F(D)$ 当普通多项式，按 $f(x)$ 的类型把它”除”掉。

与特征方程的关系：$r^2+pr+q=0$ 就是把 $D$ 换成数 $r$ 的结果。

指数型

赋值

$e^{kx}$ 是 $D$ 的"特征向量"

对 $e^{kx}$ 求导还是 $e^{kx}$（只多乘一个 $k$），所以 $F(D)e^{kx}=F(k)e^{kx}$。倒过来就是——把分母里的 $D$ 直接替换成特征值 $k$，$e^{kx}$ 原样保留：

$\frac{1}{F(D)}{e}^{kx}=\frac{1}{F(k)}{e}^{kx}$

举例

$\frac{1}{D^2+2D+1}{e}^x=\frac{1}{1+2+1}{e}^x=\frac{1}{4}{e}^x$

共振

$F(k)=0$  就提  x

1. 赋值后分母为零（$k$ 是特征根）时，提一个 $x$，分母对 $D$ 求一次导，再赋值：
   $\frac{1}{F(D)}{e}^{kx}=x\cdot \frac{1}{F^{\prime }(k)}{e}^{kx}$

   例：$\frac{1}{D^2-3D+2}{e}^x$。 $F(1)=0$，$F^{\prime }(D)=2D-3$，$F^{\prime }(1)=-1$，故 $y^{\ast }=-x{e}^x$。

2. 若 $F^{\prime }(k)=0$（$k$ 是重根），再提一个 $x$、分母求二阶导：
   $\frac{1}{F(D)}{e}^{kx}=x^2\cdot \frac{1}{F^{\prime \prime }(k)}{e}^{kx}$

   例：$\frac{1}{(D-1{)}^2}{e}^x$。 $F^{\prime \prime }(D)=2$，故 $y^{\ast }=\frac{x^2}{2}{e}^x$。

为什么提 $x$ 有用

$F(k)=0$ 说明 $F(D)$ 有因子 $D-k$，而 $D-k$ 正好”杀死” $e^{kx}$。但 $(D-k)(x{e}^{kx})=e^{kx}$——于是 $\frac{1}{D-k}$ 作用在 $e^{kx}$ 上就”产出” $x{e}^{kx}$：提一个 $x$ = 消掉一个零因子；

$k$ 是几重根，就提几个 $x$。（和待定系数法重根乘 $x^r$ 是一回事）

多项式型

长除法

$f(x)$ 是 $n$ 次多项式：把 $\frac{1}{F(D)}$ 按 $D$ 的升幂（$1,D,D^2,\dots$）长除展开，保留到 $D^n$ 项，再逐项求导作用到 $f(x)$ 上。

例：$\frac{1}{D^2+2D+1}(x^2+2x)$。分母按升幂排 $1+2D+D^2$，长除：

$\frac{1}{1+2D+D^2}=1-2D+3D^2+\cdots$

逐项作用（$D(x^2+2x)=2x+2$，$D^2(x^2+2x)=2$）：

$(1-2D+3D^2)(x^2+2x)=(x^2+2x)-2(2x+2)+3\cdot 2=x^2-3x+2$

为什么只算到 $D^n$

$n$ 次多项式求 $n$ 次以上导数是 $0$——求导次数超过多项式次数就清零，后面无穷多项全是白算。

# 指数复合型

移位定理

$e^{kx}g(x)$

注： $g(x)$ 可以是 三角 或 多项式

指数乘别的函数时，把 $e^{kx}$ 整体提到前面，分母里的 $D$ 换成 $D+k$，只算剩下的 $g(x)$：

$\frac{1}{F(D)}\left[e^{kx}g(x)\right]=e^{kx}\frac{1}{F(D+k)}g(x)$

为什么是 $D+k$

$D\left[e^{kx}g\right]=e^{kx}(D+k)g$：对乘积求导，$e^{kx}$ 每次被”拽”出来多出一个 $k$。反复运用，求导操作整体平移了 $k$。

例： $\frac{1}{D^2+1}x{e}^x$。

移位得 $e^x\frac{1}{(D+1{)}^2+1}x=e^x\frac{1}{D^2+2D+2}x$，

长除 $\frac{1}{2+2D+D^2}=\frac{1}{2}(1-D+\cdots )$，作用于 $x$ 得 $\frac{1}{2}(x-1)$，故
$\boxed{y^{\ast }=\frac{1}{2}{e}^x(x-1)}$

三角型

赋值

$D^2=-a^2$

$\sin (ax)$ 求二阶导变号：$D^2\sin (ax)=-a^2\sin (ax)$，所以把分母中的 $D^2$ 换成 $-a^2$

$\frac{1}{F(D)}\sin ax=\frac{1}{F(-a^2)}\sin ax$

$\cos$ 与 $\sin$ 的逻辑一致

$\frac{1}{D^2+4}\sin x=\frac{1}{-1+4}\sin x=\frac{1}{3}\sin x$

易错点

$\sin (ax)$ 求一阶导：$D\sin (ax)=a\cos (ax)$

这里的 $D$ 不能等价于 a, 因为 等式左右三角函数并不相同

共振

$F(-a^2)=0$ 就提 $x$

和指数型同理，提一个 $x$、分母求导：

$\frac{1}{F(D)}\sin ax=x\cdot \frac{1}{F^{\prime }(D)}\sin ax$

例：$\frac{1}{D^2+1}\sin x=x\cdot \frac{1}{2D}\sin x=\frac{x}{2}\int \sin xdx=-\frac{x}{2}\cos x$。

分母含 $D$ 一次项

上下同乘共轭，凑 $D^2$

举例

$\frac{1}{D^2+2D+3}\sin x$

$D^2=-1$：分母 $=2D+2=2(D+1)$, 分母不是 $D^2$ 的形，上下同乘 $D-1$ 凑出 $D^2$

$\frac{D-1}{2(D^2-1)}\sin x$

再代入 $D^2=-1⟹\frac{D-1}{2(-2)}=-\frac{1}{4}(D-1)\sin x=-\frac{1}{4}(\cos x-\sin x)$。

三角型主线

所有技巧都围绕 $D^2=-a^2$：能赋直接赋 → 赋完为零就提 $x$ → 有 $D$ 一次项就凑 $D^2$ 再赋。

不适用： 三角 多项式

多项式 × 三角

$f(x)=x\sin x$ 多项式 乘 三角函数的二阶常系数微分方程

算子法要动用欧拉公式（$\sin$ 写成复指数），越算越复杂——直接用待定系数法。

真题：2010 数一

求 $y^{\prime \prime }-3y^{\prime }+2y=2x{e}^x$ 的通解。

齐次通解：$r^2-3r+2=0\Rightarrow r=1,2$，$y_0=C_1{e}^x+C_2{e}^{2x}$。

算子法求特解（$k=1$ 是特征根、指数又带 $x$，所以移位）：

$y^{\ast }=\frac{1}{D^2-3D+2}2x{e}^x=2e^x\frac{1}{(D+1{)}^2-3(D+1)+2}x=2e^x\frac{1}{D^2-D}x$

对 $\frac{1}{D^2-D}$ 长除（升幂排 $-D+D^2$）：

$\frac{1}{-D+D^2}=-\frac{1}{D}\cdot \frac{1}{1-D}=-\frac{1}{D}\left(1+D+D^2+\cdots \right)=-\left(\frac{1}{D}+1+D+\cdots \right)$

$x$ 是一次多项式，保留到 $D^1$ 项，作用于 $x$：

$-\left(\frac{1}{D}+1+D\right)x=-\left(\frac{x^2}{2}+x+1\right)$

故 $y^{\ast }=2e^x\cdot \left[-\left(\frac{x^2}{2}+x+1\right)\right]=-e^x(x^2+2x+2)$。

$y=C_1{e}^x+C_2{e}^{2x}-e^x(x^2+2x+2)=\boxed{(C_1-2)e^x+C_2{e}^{2x}-e^x(x^2+2x)}$

卷面书写技巧

算子法不在考纲。解答题建议：卷面设特解形式 $y^{\ast }=e^x(a{x}^2+bx)$（待定系数法写法），草稿纸上用算子法瞬间算出 $a=-1,b=-2$，卷面直接写”解得 $a=-1,b=-2$“，避免步骤争议。

现在大题很少单独考二阶常系数求解，多是变限积分、级数或几何应用里的一小步，只要算对结果就行，不必写详细步骤——这正是算子法的用武之地。

选择题

例 1（660）：$y^{\prime \prime }+y=\cos kx$ 的特解可能具有什么形式？

$y^{\ast }=\frac{1}{D^2+1}\cos kx=\frac{1}{1-k^2}\cos kx$

$k^2\ne 1$：分母非零，$y^{\ast }=A\cos kx$（纯三角函数、无 $x$）；$k^2=1$：共振，$y^{\ast }=x\cdot \frac{1}{2D}\cos x=\frac{x}{2}\sin x$（形式 $x(A\cos x+B\sin x)$）。

看到选项里只有带 $x$ 的才可能成立 → 必是共振 $k^2=1$ → 直接选 $x\sin x$ 那个。

例 2（660）：$y^{\prime \prime }-2y^{\prime }+5y=e^x\cos 2x$ 的特解形式？

$y^{\ast }=\frac{1}{D^2-2D+5}{e}^x\cos 2x=e^x\frac{1}{(D+1{)}^2-2(D+1)+5}\cos 2x=e^x\frac{1}{D^2+4}\cos 2x$

赋 $D^2=-4$：分母 $-4+4=0$，共振 → 提 $x$：

$y^{\ast }=x{e}^x\cdot \frac{1}{2D}\cos 2x=\frac{x}{2}{e}^x\cdot \frac{1}{2}\sin 2x=\frac{x}{4}{e}^x\sin 2x$

形式 $x{e}^x(A\cos 2x+B\sin 2x)$ 秒选

高代视角

算子法不是四招拼凑，它整套就是线性代数：$D$ 是函数空间上的线性变换，$e^{kx}$ 是它的特征向量，特征方程 $F(\lambda )=0$ 里的 $\lambda$ 正是 $D$ 的特征值。四招本质是同一件事——在特征向量（及广义特征向量）基底上，把 $F(D)$ 化成数乘，求逆化成除法。

线性代数	算子法
矩阵 $A$	算子 $D$（求导是线性变换）
特征值 $\lambda$	$k$：$D{e}^{kx}=k{e}^{kx}$
特征多项式 $|\lambda I-A|$	$F(\lambda )={\lambda }^2+p\lambda +q$
对角化 → 数乘 $\lambda$	赋值 → 数乘 $F(k)$
$A$ 奇异（不可逆）	共振：$F(k)=0$
零空间 $\ker A$	齐次解空间 $\ker F(D)$
约当链 / 广义特征向量	提 $x$：$(D-k)(x{e}^{kx})=e^{kx}$
$(I-A{)}^{-1}=\sum A^n$	长除法（$D$ 在多项式上幂零）
$Ax=b$ 解集 $x_0+\ker A$	通解 $y^{\ast }+$ 齐次通解（特解不唯一）

赋值 = 对角化：在 $e^{kx}$ 这个”方向”上，$D$ 就是乘 $k$——$e^{kx}$ 是 $D$ 的”特征方向”，$k$ 是”对角元”。
用线代的话说,“能不能取数值形式”的条件,就是这个函数是不是 D 的特征函数——是,就能取数值形式(数值就是对应的特征值);不是,就看做普通的求导

于是 $F(D)$ 作用在 $e^{kx}$ 上就是乘 $F(k)$，求逆就是除以 $F(k)$——和对角矩阵求逆 = 对角元取倒数是同一件事。

共振 = 奇异，提 $x$ = 约当链：$F(k)=0$ 时 $e^{kx}\in \ker F(D)$，算子不可逆。但 $(D-k)(x{e}^{kx})=e^{kx}$：$x{e}^{kx}$ 是广义特征向量，$e^{kx}\to x{e}^{kx}\to \frac{x^2}{2}{e}^{kx}$ 是一条约当链，$(D-k)$ 在链上”爬一格”、$\frac{1}{D-k}$“退一格”。重根几重、链就多长，所以提几个 $x$。

移位 = 谱平移：$e^{-kx}D{e}^{kx}=D+k$——乘以 $e^{kx}$ 相当于换基底，新基底里 $D$ 的特征值整体平移 $k$。移位定理就是”谱平移之后再求逆”。

长除 = 几何级数：把分母按升幂提常数因子后，求逆就是 $1+T$ 的”几何级数”：

$\frac{1}{a_0+a_{1}D+\cdots }=\frac{1}{a_0}\cdot \frac{1}{1+T}=\frac{1}{a_0}\left(1-T+T^2-\cdots \right),T=\frac{a_1}{a_0}D+\cdots$

$D$ 在 $n$ 次多项式上是幂零算子（$D^{n+1}$ 清零），级数在 $D^n$ 项后自然截断——“只算到 $D^n$“不是偷懒，是幂零性。

三角 = 复特征向量：$\sin ax=\frac{e^{iax}-e^{-iax}}{2i}$ 是特征值 $\pm ia$ 的特征向量组合，$D^2$ 在它们上面都是 $-a^2$。

所以”赋 $D^2=-a^2$“仍是特征值代入；共振 ⟺ $\pm ia$ 是特征根。

一句话本质

求导是线性变换 ⟹ $F(D)y=f$ 是”线性方程组”；

$e^{kx}$ 是特征向量 ⟹ “除以 $F(D)$“就是”除以 $F(k)$”；

共振 = 特征值撞上 $F$ 的零点，沿约当链取”广义逆”。

特征方程的名字就是这么来的——它就是算子的特征值方程。

2010 真题里特解”差一个齐次解分量”（$C_1-2$ 那个合并）也正是 $x_0+\ker A$ 的解集结构。