区间再现

公式

$基础公式{\int }_a^{b}f(x)dx\stackrel{x=a+b-t}{=}{\int }_a^{b}f(a+b-t)dt$

$进阶三角公式{\int }_0^{\pi }xf(\sin x)dx\stackrel{x=\pi -t}{=}\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }f(\sin t)dt\stackrel{t=x}{=}\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\sin x)dx$

Classic Question

$${\int }_0^1\frac{\ln (1+x)}{1+x^2}dx$$

这题不管用什么方法，最后都逃不了 区间再现求解.

所以 这里先进行 分母的 消除，接着再处理得到的多项式 积分

$$\begin{array}{rl}& {\int }_0^1\frac{\ln (1+x)}{1+x^2}dx令x=\tan t\\ & \\ =& {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{\ln (1+\tan t)}{{\sec }^{2}t}{\sec }^{2}tdt\\ & \\ =& {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln (1+\tan t)dt\\ & \\ & 利用区间再现\\ & \\ & {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln (1+\tan t)dt={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln \left[1+\tan \left(\frac{\pi }{4}-t\right)\right]dt\\ & \\ =& {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln 2-\ln (1+\tan t)dt\\ & \\ ⟹& {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln (1+\tan t)dt=\frac{\pi \ln 2}{8}\end{array}$$

总结

以上操作都是 基于两大技巧

1. 三角换元
2. 区间再现

其中 区间再现 的 证明 待填补

可以看一下李烈的视频辅以理解

好题 集结

一、三角区间再现

$$\begin{array}{rl}& {\int }_0^{\pi }\frac{x}{2+\sin x}dx区间再现\\ & \\ =& {\int }_0^{\pi }\frac{\pi -x}{2+\sin x}dx\\ & \\ =& \frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }\frac{1}{2+\sin x}dx\\ & \\ =& \pi {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{2+\sin x}dx令\tan \frac{x}{2}=t\\ & \\ =& \pi {\int }_0^1\frac{1}{t^2+t+1}dt\\ & \\ =& \pi {\int }_0^1\frac{1}{{\left(t+\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}dt\\ & \\ =& {\frac{2\pi }{\sqrt{3}}\arctan \frac{2}{\sqrt{3}}\left(t+\frac{1}{2}\right)|}_0^1\\ & \\ =& \frac{{\pi }^2}{3\sqrt{3}}\end{array}$$