偏怪难 积分题 集合

$\int \frac{x+\sin x}{1+\cos x}dx$

$$\begin{array}{c}二倍角公式：I=\int \frac{x+2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}{2{\cos }^2\frac{x}{2}}dx\\ \\ =\int \frac{1}{2}x{\sec }^2\frac{x}{2}+\tan \frac{x}{2}dx\\ \\ =\int d\left(x\tan \frac{x}{2}\right)\\ \\ I=x\tan \frac{x}{2}+C\end{array}$$

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$${\int }_0^1\frac{\ln (1+x)}{1+x^2}dx$$ $$\begin{array}{c}令x=\tan t\\ \\ 得到：I={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln (1+\tan t)dt\\ \\ 看到带三角函数的定积分，直接区间再现\\ \\ I={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln (1+\tan t)dt={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln \left(\frac{2}{1+\tan t}\right)dt高中知识：\tan (a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1+\tan a\tan b}\\ \\ 推出：I=\frac{\pi \ln 2}{8}\end{array}$$

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$$\int \frac{1}{\sin x+\cos x}dx$$ $$\begin{array}{c}本题有多种解法，取易理解的一种进行研究\\ \end{array}$$