伽马函数 Gamma Function

伽玛函数是阶乘的推广，它将 阶乘 的定义域从 整数 扩展到了 实数和复数

函数定义： $\Gamma (s)={\int }_0^{+\infty }{e}^{-x}{x}^{s-1}dx(s>0)$
伽马函数

如何积分 ，观察到如果 s-1 小于0，此时 x = 0 为函数的瑕点

比较审敛法 极限收敛法

瑕点

此处贴一张伽马函数的图像

递推公式： $\Gamma (s+1)=s\Gamma (s)(s>0)$

证明如下：

$$\Gamma (s+1)={\int }_0^{+\infty }{e}^{-x}{x}^{s}dx=[-x^s{e}^{-x}{]}_0^{+\infty }+s{\int }_0^{+\infty }{e}^{-x}{x}^{s-1}dx=s\Gamma (s)$$

细节

其中 $[-x^s{e}^{-x}{]}_0^{+\infty }={\lim }_{x\to \infty }\frac{-x^s}{e^x}=0$

因为 指数函数 的发散速度大于 幂函数 ，因此分母比分子大，结果为0

余元公式

当 $F(s)F(s-1)=\frac{\pi }{\sin \pi s}(0<s<1)$

该公式也叫做 余元公式 ，基本上教材都不做证明

通过该公式可以得到 $F\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi }$