7. 二次型与合同变换

二次型

函数表示

$$\begin{array}{rl}& f(x_1,x_2,x_3)\\ & \\ & =a_{11}{x}_1^2+a_{22}{x}_2^2+a_{33}{x}_3^2\\ & \\ & +a_{12}{x}_1{x}_2+a_{21}{x}_2{x}_1+a_{13}{x}_1{x}_3+a_{31}{x}_3{x}_1+a_{23}{x}_2{x}_3+a_{32}{x}_3{x}_2\end{array}$$

矩阵表示

$$f(x_1,x_2,x_3)=x^T\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right)x$$

因为矩阵的表示中 带有 $x^T$ 的形式，后续讨论 矩阵变化 的核心是 转置矩阵 由此可知

标准型

$$f(x_1,x_2,x_3)=x^T\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& & \\ & a_{22}& \\ & & a_{33}\end{array}\right)=a_{11}{x}_1^2+a_{22}{x}_2^2+a_{33}{x}_3^2$$

核心目的

化二次型为标准型 === 合同对角化

合同对角化 就是 找到一个 可逆矩阵 C ，使得 $C^{T}AC=\Lambda$ 的过程

表示如下：

$f(x_1,x_2,x_3)\stackrel{x=Py}{=\Rightarrow }f(y_1,y_2,y_3)=b_{11}{y}_1^2+b_{22}{y}_2^2+b_{33}{y}_3^2$

正交-合同对角化

特殊 以下定理的推导，完全是因为正交矩阵太特殊了

对于一个 实对称矩阵 来说，一定可以做 正交相似对角化（具体看上一章——相似对角化）

分两个方向证明：

相似

1. 由题给条件，可以推出 存在一个 正交矩阵 P 使得 $P^{-1}AP=\Lambda$

2. 因为 P 是正交矩阵， 所以有 $P^{T}AP=\Lambda$

合同

1. 当 $x=Cy$ 时，有 $f=x^{T}Ax\stackrel{x=Cy}{==}(Cy{)}^{T}A(Cy)=y^T[C^{T}AC]y$

2. 其中，当 C 变成 P 时，结合相似推理出的结果可以得出，A 可以合同对角化成 $\Lambda$

总结

其中 $P$ 作为正交矩阵，将 $A$ 合同对角化为 $\Lambda$ ，完成了 化二次型为标准型 的任务

1. A 是对称矩阵
   
2. P 是由特征值拼成的（特征值可以通过 $\det (\lambda E-A)=0$ 得出）

但是一般的 合同对角化 后得到的 矩阵不一定是 A 的特征值

规范化

上一节说明了正交矩阵可以 化二次型为标准型，但是在后续的题目中我们还需要将 （特征值型）标准型 转换 为 规范型 （惯性标准型）

此处有一个较快的方法：利用正负惯性指数，即可推出 A 的规范形；（惯性定理）

该定理适用于 一般合同对角化 情况（普适）

举例

若合同对角后的标准型（对角不一定是 特征值）

$$\Lambda =\left(\begin{array}{ccc}1& & \\ & -7& \\ & & 0\end{array}\right)$$

其对应的 规范性矩阵应当是

$$\left(\begin{array}{ccc}1& & \\ & -1& \\ & & 0\end{array}\right)$$

一般题目

给定一个 二次型矩阵 A，存在 可逆矩阵 C，使 $C^{T}AC=\Lambda$ ，求解 $C$

以下给出两种解法

1. 使用正交变换法

2. 使用 配方法，一般使用（拉格朗日配方法）

对于一个 已经化好的 标准型 式子，给出不同的特征向量组成的正交矩阵，求解在对应正交矩阵下的 标准型是啥？ 还有给定标准型去选对应的 特征向量 的题？

easy，牢记一点：特征值 对应 的 特征向量 只会 拉伸 或 翻转，不会旋转到其他位置

其次，正交矩阵 的 特征向量一定是 单位向量组成，因为正交矩阵的特性是 行列向量模长 均为 $1$

• 如何判断特征值的 重根性