3. 矩阵及其运算

特殊矩阵

单位阵 $$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

数量阵 $$ \begin{pmatrix} k & 0 & 0 \\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & k \end{pmatrix}

对角矩阵

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

三角矩阵

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

对称矩阵 $A^T=A$

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

反对称矩阵 $A^T=-A$ 考点： 奇数阶的反对称矩阵的行列式为 0

证明：

$|A^T|=|-A|，即|A|=(-1{)}^n|A|，即|A|=-|A|，则|A|=0$

矩阵的迹

对于 n 阶方阵，其主对角元素之和 叫做 “矩阵的迹”，记作 tr(A)=${\sum }_{i=1}^n{a}_{ii}$
主要用于求解 特征值 特征向量

正交矩阵

对于 n 阶方阵 A, 若满足 $A^{T}A=A{A}^T=E$，称 A 为 正交矩阵

正交矩阵 四个性质

重点看（1）
(2) 说明了 正交阵 内部的向量 天然 是线性无关 (相互独立) 的，从而 求 矩阵的逆

矩阵求逆 四大方法

1. 利用定义求解

给定 高次矩阵等式， 要求一个低次的矩阵表达式

一般采用拼凑法 或 长除法

2. 伴随矩阵

$$\begin{array}{c}{A}^{-1}=\frac{A^{\ast }}{|A|}\\ \\ 假设A是三阶矩阵：A^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}{A}_{11}& A_{21}& A_{31}\\ A_{12}& A_{22}& A_{32}\\ A_{13}& A_{23}& A_{33}\end{array}\right)\\ \\ A{A}^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}{A}_{11}+a_{12}{A}_{12}+a_{13}{A}_{13}& a_{11}{A}_{21}+a_{12}{A}_{22}+a_{13}{A}_{23}& a_{11}{A}_{31}+a_{12}{A}_{32}+a_{13}{A}_{33}\\ a_{21}{A}_{11}+a_{22}{A}_{12}+a_{23}{A}_{13}& a_{21}{A}_{21}+a_{22}{A}_{22}+a_{23}{A}_{23}& a_{21}{A}_{31}+a_{22}{A}_{32}+a_{23}{A}_{33}\\ a_{31}{A}_{11}+a_{32}{A}_{12}+a_{33}{A}_{13}& a_{31}{A}_{21}+a_{32}{A}_{22}+a_{33}{A}_{23}& a_{31}{A}_{31}+a_{32}{A}_{32}+a_{33}{A}_{33}\end{array}\right)\\ \\ \\ =\left(\begin{array}{ccc}|A|& & \\ & |A|& \\ & & |A|\end{array}\right)=|A|E\end{array}$$

中间标 黄 的是 按 i 行 展开的代数余子式表达式等于 |A|

白色公式 是 在 第 i 行 展开 第 j 行 ，故 为0

这个公式中 的 $|A|$ 特别容易忘记 需要时刻注意

注意

多看看上面公式

3. 初等变换

二战转折点：

从此处，我们对于 矩阵的理解就不仅仅局限在了行列的加加减减上了

利用 初等矩阵 左乘 A，可以表示为 对 A 进行了初等 行变换

利用 初等矩阵 右乘 A，可以表示为 对 A 进行了初等 列变换

依此，我们在求解矩阵的逆的过程中的一系列操作 就是 对单位矩阵的操作

所以增广一个单位矩阵并将原矩阵A转换到E， 直接可以将E 变换得到的矩阵当作 $A^{-1}$

具体推导如下

4. 分块矩阵

左行右列

问 $AB=C$ ，可以推出多少结论？

1. 假设 $A$ 可逆，则 B 行向量组同 $C$ 行向量组等价；同理若 $B$ 可逆，则 $A$ 列向量组 同 $C$ 列向量组 等价

证明

$$\left(\begin{array}{ccc}{\alpha }_1& {\alpha }_2& {\alpha }_3\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{b}_{11}& b_{12}& b_{13}\\ b_{21}& b_{22}& b_{23}\\ b_{31}& b_{32}& b_{32}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{c}_1& c_2& c_3\end{array}\right)$$

特殊化，问 $AB=0$ ，可以推出多少结论？

1. 若 $B$ 不是 $0$ 矩阵（注意，$B$ 中必须有非 $0$ 元素），则 $A$ 列向量组 线性相关 反之同理
2. $r(A)+r(B)\le n$ ( $n$ 是左边矩阵 $A$ 的列数 )
3. $B$ 的列是 $Ax=0$ 的解（部分解），可以用来推导 结论 $2$

$$\left(\begin{array}{ccc}{\alpha }_1& {\alpha }_2& {\alpha }_3\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{b}_{11}& b_{12}& b_{13}\\ b_{21}& b_{22}& b_{23}\\ b_{31}& b_{32}& b_{32}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\end{array}\right)$$

做题总结

1. 抽象矩阵求逆的题目，最喜欢考的就是 $E$ 单位矩阵的变化，可能需要通过多种方式将 $E$ 构造成其他矩阵相乘的形式，从而找到目标