秩-零化度定理

核空间

设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，齐次线性方程组 $A\mathbf{x}=0$ 的所有解构成的向量空间称为 $A$ 的核空间（Kernel），记作 $\ker (A)$ 或 $N(A)$。

• $\ker (A)=\{\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n\mid A\mathbf{x}=0\}$
• $\ker (A)$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 的子空间，其维数 $\dim (\ker (A))$ 等于齐次方程组基础解系中向量的个数，即 $n-r(A)$。

秩-零化度定理

设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，则
$r(A)+\dim (\ker (A))=n$
其中 $r(A)$ 是 $A$ 的秩，$\dim (\ker (A))$ 是 $A$ 的零度（nullity）。

几何意义：矩阵的秩加上其核空间的维数等于列数。秩衡量的是空间的维数，核空间衡量的是被”压缩”到零的维数。

应用

证明 $r(A^n)=r(A^{n+1})$

对于 $n$ 阶矩阵 $A$，考虑幂序列 $A,A^2,A^3,\dots$。核空间满足链式包含：

$\ker (A)\subseteq \ker (A^2)\subseteq \ker (A^3)\subseteq \cdots$

由于 ${\mathbb{R}}^n$ 是有限维空间，这个链必然在某一步稳定，即存在正整数 $k$ 使得 $\ker (A^k)=\ker (A^{k+1})=\cdots$。
一旦稳定，对任意 $m\ge k$ 有 $\ker (A^m)=\ker (A^{m+1})$。根据秩-零化度定理：

$r(A^m)=n-\dim (\ker (A^m))=n-\dim (\ker (A^{m+1}))=r(A^{m+1})$

特别地，对于任意 $n$ 阶矩阵，取 $m=n$ 即得 $r(A^n)=r(A^{n+1})$（因为 $\ker (A)$ 的维数最多为 $n$，链最多 $n$ 步就稳定）。

核空间的膨胀视角

换一个角度理解：从 $I$ 到 $A^n$，每多乘一次 $A$，核空间的维数 $\dim (\ker (A^k))$ 要么 $+1$，要么 $+0$，绝不会减少。

• 乘一次 $A$，可能有新的向量被”压”进核空间（维数 $+1$），也可能没有（维数 $+0$）
• 核空间维数从 $0$ 开始，最多涨到 $n$，所以最多 $n$ 步后必然停止增长
• 一旦某步维数不变（$+0$），后续所有步都保持不变，秩也就不再变化

这就是 $r(A^n)=r(A^{n+1})$ 的直观本质：核空间”涨不动”了，秩自然就稳了。