3. 多维随机变量及其分布

多维随机变量及其分布

边缘概率密度 — 积分区域确定

核心错因：非矩形区域——边缘密度的积分限确定

【例11】 设 $(X,Y)$ 在区域 $x^2\le y\le x$ 内密度函数为常数，求边缘概率密度。

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}k,& x^2\le y\le x\\ 0,& \text{其他}\end{array}$$

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主要错因分析：

1. 积分区域理解不清：区域 $x^2\le y\le x$ 是一个抛物线 $y=x^2$ 和直线 $y=x$ 围成的区域，位于 $0\le x\le 1$ 内

2. 求 $f_Y(y)$ 时积分限搞反：给定 $y$ 后，从 $x^2\le y\le x$ 推出 $y\le x$ 且 $x^2\le y$，即 $x\ge y$ 且 $x\le \sqrt{y}$，所以 $y\le x\le \sqrt{y}$

3. 常见错误：把 $f_Y(y)$ 的积分限写成 ${\int }_{\sqrt{y}}^y$，上下限写反了，导致结果为负数（概率密度不可能为负）

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正确解法：

第一步：由归一性求 $k$

$${\int }_0^1{\int }_{x^2}^{x}kdydx=k{\int }_0^1(x-x^2)dx=k\cdot \frac{1}{6}=1⟹k=6$$

第二步：求 $f_X(x)$ — 对 $y$ 积分（固定 $x$，$y$ 从下界到上界）

$$f_X(x)={\int }_{x^2}^{x}6dy=6(x-x^2),0\le x\le 1$$

第三步：求 $f_Y(y)$ — 对 $x$ 积分（固定 $y$，找 $x$ 的范围）

关键：从 $x^2\le y\le x$ 反解 $x$ 的范围

• $y\le x$ → $x\ge y$
• $x^2\le y$ → $x\le \sqrt{y}$

所以 $y\le x\le \sqrt{y}$：

$$f_Y(y)={\int }_y^{\sqrt{y}}6dx=6(\sqrt{y}-y),0\le y\le 1$$

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方法总结：

• 求 $f_X(x)$：固定 $x$，沿 $y$ 方向积分 → 从区域中读出 $y$ 的上下界

• 求 $f_Y(y)$：固定 $y$，沿 $x$ 方向积分 → 从区域中读出 $x$ 的上下界

• 画图是确定积分限最可靠的方法，先画出区域草图，再用水平/竖直切片法确定边界