随机事件与概率
第一篇 概率学的随机事件与概率
全概率公式
引入的意义
全概率公式的精髓是：当一个复杂事件的结果可能由多种不同的”原因”或”途径”导致时，我们可以先把这些可能的”原因”或”途径”都找出来，然后分别计算在每个”原因”下该事件发生的概率，最后把这些概率加起来。
简单来说就是：“条条大路通罗马”，我们要算的是到达”罗马”的总概率，那就把每一条路能走到罗马的概率都算出来，然后加在一起。
需求的提出
假设有两个工厂（A1 和 A2）为我们生产同一种灯泡。
工厂A1：负责供应我们总需求量的 60%。它的次品率是 1%。
工厂A2：负责供应我们总需求量的 40%。它的次品率是 3%。
问题：现在我从总仓库里随机拿一个灯泡，请问这个灯泡是次品的概率是多少？
计算步骤：
-
第一种途径（来自A1）：
- P(A1) = 0.6
- P(次品 | A1) = 0.01
- P(A1) × P(次品 | A1) = 0.6 × 0.01 = 0.006
-
第二种途径（来自A2）：
- P(A2) = 0.4
- P(次品 | A2) = 0.03
- P(A2) × P(次品 | A2) = 0.4 × 0.03 = 0.012
-
总概率：
- P(次品) = 0.006 + 0.012 = 0.018
结论：随机拿一个灯泡，它是次品的概率是 1.8%。
公式抽象
如果事件 B 的发生只能由 n 种互斥的原因 A₁, A₂, …, Aₙ 之一引起，那么事件 B 发生的概率为：
全概率公式的定义
设 E 为随机试验，Ω 为相应的样本空间，A₁, A₂, …, Aₙ 为事件组，若满足：
- AᵢAⱼ = ∅ (i ≠ j)
- A₁ ∪ A₂ ∪ … ∪ Aₙ = Ω
则称该事件组为完备事件组。
全概率公式：
基础例题
例1：一个盒子里有 3 个红球和 2 个白球，另一个盒子里有 2 个红球和 3 个白球。随机选一个盒子的概率是 1/2；从选中的盒子里随机摸出一个球。求摸出红球的概率。
解：
- A₁ = “选中第一个盒子”，A₂ = “选中第二个盒子”
- P(A₁) = P(A₂) = 1/2
- P(B|A₁) = 3/5，P(B|A₂) = 2/5
- P(B) = 1/2 × 3/5 + 1/2 × 2/5 = 1/2
例2：某公司有三个制造厂，全部产品的 40% 由甲厂生产，45% 由乙厂生产，15% 由丙厂生产，而甲，乙，丙三厂生产的不合格品率分别为 1%, 2%, 3%。求从该公司产品中随机抽出一件产品为不合格品的概率。
解：
- P(A₁) = 0.4, P(A₂) = 0.45, P(A₃) = 0.15
- P(B|A₁) = 0.01, P(B|A₂) = 0.02, P(B|A₃) = 0.03
- P(B) = 0.4 × 0.01 + 0.45 × 0.02 + 0.15 × 0.03 = 0.0175
例3：有三只箱子：
- 第一个箱子中有四个黑球和一个白球
- 第二个箱子中有三个黑球和三个白球
- 第三个箱子中有三个黑球和五个白球
任取一箱，再从中任取一个球，求取到白球的概率。
解：
- P(A₁) = P(A₂) = P(A₃) = 1/3
- P(B|A₁) = 1/5, P(B|A₂) = 1/2, P(B|A₃) = 5/8
- P(B) = 1/3 × (1/5 + 1/2 + 5/8) = 53/150
例4：（摸彩模型）设在 n 张彩票中有一张可中奖。求第二人摸到中奖彩票的概率是多少？
解：
- P(A₂|A₁) = 0, P(A₂|Ā₁) = 1/(n-1)
- P(A₁) = 1/n, P(Ā₁) = (n-1)/n
- P(A₂) = 1/n × 0 + (n-1)/n × 1/(n-1) = 1/n
这表明：摸到中奖彩票的机会与先后次序无关。
实际应用-敏感性问题调查
问题背景：调查学生中看过黄色书刊或影像的比率 p。
调查方案：
- 问题 A：你的生日是否在 7 月 1 日之前？
- 问题 B：你是否看过黄色书刊或影像？
操作方法：
- 被调查者从罐子中随机抽一只球
- 若抽到白球，回答问题 A；若抽到红球，回答问题 B
- 罐中红球的比率 π 已知
计算：
示例：罐中红球 30 个、白球 20 个（π=0.6），收到 1583 张有效答卷，其中 389 张回答”是”。
表明约有 7.62% 的学生看过黄色书刊或影像。