Trigonometric Substitution

分类名称

名称	涵盖的积分类型
反双曲函数积分	结果为 ${\sinh }^{-1}x$、${\cosh }^{-1}x$、${\tanh }^{-1}x$ 等
含 $\sqrt{a^2+x^2}$ 的积分	用三角换元 $x=a\tan \theta$ 或双曲换元 $x=a\sinh t$
第二类换元积分（三角换元）	中国高校教材的通用叫法；英文教材称 Trigonometric Substitution

---

三种核心根式对应的换元

根式	换元方法	结果类型
$\sqrt{a^2-x^2}$	$x=a\sin \theta$	反三角函数
$\sqrt{a^2+x^2}$	$x=a\tan \theta$ 或 $x=a\sinh t$	反双曲函数
$\sqrt{x^2-a^2}$	$x=a\sec \theta$ 或 $x=a\cosh t$	反双曲函数

---

证明

目标：

$\int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}},dx=\ln \left|x+\sqrt{1+x^2}\right|+C$

令 $x=\tan \theta$，则 $dx={\sec }^2\theta ,d\theta$

$\sqrt{1+x^2}=\sqrt{1+{\tan }^2\theta }=\sqrt{{\sec }^2\theta }=|\sec \theta |=\sec \theta$

代入积分：

$\int \frac{1}{\sec \theta }\cdot {\sec }^2\theta ,d\theta =\int \sec \theta ,d\theta$

计算 $\int \sec \theta ,d\theta$：

$\int \sec \theta ,d\theta =\int \sec \theta \cdot \frac{\sec \theta +\tan \theta }{\sec \theta +\tan \theta },d\theta$

令 $u=\sec \theta +\tan \theta$，则 $du=(\sec \theta \tan \theta +{\sec }^2\theta ),d\theta$，于是：

$=\int \frac{du}{u}=\ln |u|+C=\ln |\sec \theta +\tan \theta |+C$

回代 $x$：

由 $x=\tan \theta$，得 $\sec \theta =\sqrt{1+x^2}$，故：

$\boxed{\int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}},dx=\ln \left|x+\sqrt{1+x^2}\right|+C}$

---

备注： 此结果也常写作 ${\sinh }^{-1}(x)+C$，两者相差常数，等价。

备注 此结果也常写作 ${\sinh }^{-1}(x)+C$，因为 ${\sinh }^{-1}(x)=\ln (x+\sqrt{x^2+1})$，两者相差常数，等价。

---

推广公式

$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2+x^2}}=\ln \left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)+C(a>0)$