三重积分

核心洞察

$f(x,y,z)$ 无论取什么形式——$x$、$x^2+y^2$、$xyz$、或常数 $1$——它始终是挂在三维空间 $\Omega$ 上的第四维标量场

$f$ 中的 $x,y,z$ 既是场值的构成因子，又隐含着该点的三维空间位置。三重积分就是对三维标量场按体积的累积量，“质量密度、温度、电荷密度“ 都是在对场累积。

三重积分 $\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)dV$ 将一个定义在三维区域 $\Omega$ 上的标量场 $f$ 按体积做累积。

最直觉的物理图像是求质量（$f$ 为体密度），但 $f$ 也可以是电荷密度、温度、或常数 $1$（退化为体积）。

本章与二重积分类似，介绍概念、对称性、计算方法及应用。

概念

将 $\Omega$ 分割为 $N$ 个小区域 $\Delta V_i$，在每个小区域内任取一点 $({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)$。

作和 $\sum f({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta V_i$ , 当所有小区域的最大广义直径 $\lambda \to 0$ 时取极限：

$\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)dv={\lim }_{\lambda \to 0}{\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta V_i注：dv=dxdydz$

为什么用 $\lambda \to 0$ 而不是 $n\to \infty$

让分割份数 $n\to \infty$ 并不能保证每一份都足够小。

必须控制最大广义直径 $\lambda \to 0$，才能确保每个小区域都趋于一个点，从而消除近似误差。

该说法同样适用于二重积分的定义

元素法对应：取微元 $dm=f(x,y,z)dV$。

微元位置由 $x,y,z$ 三维定位（所以是三重积分），微元体积 $dV=dxdydz$（长宽高）。

总质量 $M=\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)dxdydz$。

各符号的意义

$f(x,y,z)$ 是密度，$dxdydz$ 是体积（长宽高），三者共同构成质量微元。

“三重”源于需要 $x,y,z$ 三个变量进行三维定位。

区域 $\Omega$ 必须完整描述空间范围，所有变量和符号均不可省略。

对称性

普通对称性（偶倍奇零）

先看积分域 $\Omega$ 关于哪个坐标面对称，再看被积函数是另外一个轴的奇还是偶。

以 $\Omega$ 关于 $YOZ$ 面前后对称为例：

• $f(-x,y,z)=f(x,y,z)$（关于 $x$ 为偶）→ 前后密度相同，积分 = $2$ 倍半域积分

• $f(-x,y,z)=-f(x,y,z)$（关于 $x$ 为奇）→ 前后密度互为相反数，正负质量抵消，积分 = $0$

同理：

$\Omega$ 关于 $XOZ$ 面左右对称 → 看 $f$ 关于 $y$ 的奇偶。

$\Omega$ 关于 $XOY$ 面上下对称 → 看 $f$ 关于 $z$ 的奇偶。

解析判断对称性（无需画图）

$x$ 添负号后积分域表达式不变 → 前后关于 $YOZ$ 面对称

$y$ 添负号后积分域表达式不变 → 左右关于 $XOZ$ 面对称

$z$ 添负号后积分域表达式不变 → 上下关于 $XOY$ 面对称

抵消的是质量不是体积

奇函数时积分为零，是因为前后对称点的密度一正一负，质量抵消，不是体积抵消。

轮换对称性

三重积分的轮换对称性比二重积分更复杂，分为大轮换和小轮换。

大轮换：三个变量共同参与的闭环轮换 $x\to y,y\to z,z\to x$。
若轮换后积分域形式不变，则被积函数可做相应轮换。

小轮换：仅两个变量参与轮换，第三个不动。
如 $x\leftrightarrow y$（$z$ 不动）、$y\leftrightarrow z$（$x$ 不动）、$z\leftrightarrow x$（$y$ 不动）。

判断标准

唯一标准：轮换后积分域在形式上是否与原积分域完全相同。

球体 $x^2+y^2+z^2\le R^2$：大轮换和小轮换均成立

椭球 $x^2+y^2+3z^2\le 1$：大轮换不成立（$z$ 系数不同），但 $x\leftrightarrow y$ 小轮换成立

轮换必须是闭环

所有轮换必须是闭环操作，形成封闭环。

小轮换如 $x\to y,y\to x$ 是局部闭环；大轮换 $x\to y\to z\to x$ 是完整回路。

不能只让 $x$ 变成 $y$ 而 $y$ 不动。

加减项可拆分轮换：若被积函数为加减形式，可拆开对各部分分别进行闭环轮换，最后再合并。

乘除项不可拆分：若被积函数为乘除结构（如 $3xy\cdot e^z$），不能 对个别变量轮换。

原因是乘积项耦合在一起，无法独立轮换。

1988 年真题（3 分）

设有空间区域 ${\Omega }_1:x^2+y^2+z^2\le R^2,z\ge 0$ 及 ${\Omega }_2:x^2+y^2+z^2\le R^2,x\ge 0,y\ge 0,z\ge 0$，则

(A) $\underset{{\Omega }_1}{\iiint }xdV=4\underset{{\Omega }_2}{\iiint }xdV$　　(B) $\underset{{\Omega }_1}{\iiint }ydV=4\underset{{\Omega }_2}{\iiint }ydV$

(C) $\underset{{\Omega }_1}{\iiint }zdV=4\underset{{\Omega }_2}{\iiint }zdV$　　(D) $\underset{{\Omega }_1}{\iiint }xyzdV=4\underset{{\Omega }_2}{\iiint }xyzdV$

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答案：C

\begin{gather} \Omega_1 \text{ 关于 } YOZ \text{ 对称，} z \text{ 不含 } x \Rightarrow \text{偶} \Rightarrow \times 2 \\ \\ \text{再关于 } XOZ \text{ 对称，} z \text{ 不含 } y \Rightarrow \text{偶} \Rightarrow \times 2 \\ \\ \text{两次偶倍：} \underset{\Omega_1}{\iiint} z\,dV = 4\underset{\Omega_2}{\iiint} z\,dV \end{gather}$$ $\quad \quad \quad \quad$A、B、D 错：$x$、$y$、$xyz$ 均为奇函数，$\underset{\Omega_1}{\iiint} = 0$ 而 $\underset{\Omega_2}{\iiint} > 0$。

计算

三重积分的计算核心是选择 合适的积分顺序 和 坐标系。

直角坐标系

直角坐标系下有先一后二和先二后一两种顺序；当积分域具有旋转对称性时，可改用柱坐标或球坐标。

方法选择优先级

被积函数不含 $x,y$（只含 $z$）→ **先二后一**最简便（先二只需算截面面积）

积分域为柱状（底面是圆）→ 先一后二 + 极坐标 = 柱坐标

积分域为球、半球、倒锥环 → 球坐标

若 先一后二 需要分段时 → 考虑 先二后一

柱坐标系

柱坐标是 伪命题：本质就是先一后二中后二改用极坐标，只是提前将 $x,y$ 替换为 $r,\theta$。

$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta ,z=z$

$dv=rdrd\theta dz$

定位方式：先用 $r,\theta$ 在底面确定位置，再沿 $z$ 方向上升，形成柱状分层结构。

体积微元底面积为 $rdrd\theta$（来自极坐标），高为 $dz$。

不必刻意区分"柱坐标"

考试时无需专门想”我要用柱坐标”。

先一后二时 后二 自然转极坐标，先二后一时 先二 自然转极坐标，都等同于柱坐标。

柱坐标只是将极坐标转换提前完成，不构成独立方法。

球坐标系

球坐标系用于具有球对称性或旋转对称性的区域（球体、半球、倒锥、倒锥环体等）。

坐标转换：

$x=r\sin \phi \cos \theta ,y=r\sin \phi \sin \theta ,z=r\cos \phi$

其中 $r$ 为原点到点 $P$ 的距离。

$\phi$ 为 $z$ 轴正方向到 $\overrightarrow{OP}$ 的夹角（$0\le \phi \le \pi$）。

$\theta$ 为 $xoy$ 面上的方位角（$0\le \theta \le 2\pi$）。

体积微元：

$dv=r^2\sin \phi drd\phi d\theta$

几何理解

$r\cos \phi$ 是点在 $z$ 轴上的投影高度（即 $z$）

$r\sin \phi$ 是点在 $xy$ 平面上的投影半径（即极坐标的 $r$）

$r^2\sin \phi$ 是不同坐标系间体积微元的压缩比例系数

$\phi$ 从 $z$ 轴 正方向 起算 极易出错

$\phi$ 是 $z$ 轴正方向 到 $\overrightarrow{OP}$ 的夹角， 自顶而下 ，不是 自底而上 计算的。

常见错误：把 $\phi$ 当成从 $z$ 轴负方向起算，导致积分限写反

（如倒锥的 $\phi$ 范围写成 $[\frac{\pi }{2},\pi ]$ 而非 $[0,\frac{\pi }{2}]$）。

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记忆：$z=r\cos \phi$

$\phi =0$ 时 $z=r$ ； $\phi =\pi$ 时 $z=-r$。

球坐标—例题1（圆环型）

积分域 $\frac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{x^2+y^2}\le z\le \sqrt{x^2+y^2}$，$0\le z\le 4$

下界锥夹角 $30°$（$\tan \phi =\frac{1}{\sqrt{3}}$），上界锥夹角 $45°$（$\tan \phi =1$），顶部被平面 $z=4$ 截断。

球坐标积分限：$\phi \in [\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{3}]$，$\theta \in [0,2\pi ]$，$r\in [0,\frac{4}{\cos \phi }]$（平面 $z=4$ 即 $r\cos \phi =4$）

结果：$128\pi$

先二后一法更简便

上例中被积函数为 $z$，不含 $x,y$。

先二后一法只需算截面面积——截面为圆环，内半径 $z$（标准锥），外半径 $\sqrt{3}z$（非标准锥）。

面积 $A(z)=\pi (\sqrt{3}z{)}^2-\pi z^2=2\pi z^2$

积分 $I={\int }_0^{4}z\cdot 2\pi z^{2}dz=2\pi \cdot \frac{256}{4}=128\pi$，比球坐标更简便。

球坐标—例题 2（两球相贯）

【例 5】计算 $I=\underset{\Omega }{\iiint }{z}^{2}dV$，$\Omega$ 为 $x^2+y^2+z^2\le R^2$ 与 $x^2+y^2+z^2\le 2Rz$ 的公共部分。

交线位于 $z=\frac{R}{2}$ 处（球心距离 = 半径，形成正三角形，夹角 $60°$ 而非 $45°$）

球坐标需分段：$\phi \in [0,\frac{\pi }{3}]$ 时 $r$ 从 $0$ 到 $R$（下球上半球出）；$\phi \in [\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{2}]$ 时 $r$ 从 $0$ 到 $2R\cos \phi$（上球下半球出）

结果：$\frac{59}{480}\pi R^5$。先二后一法同样可解但计算量相当。

使用 球坐标系积分 过程相当复杂，适合没事的时候练练计算量

应用

体积与质量

体积：被积函数为 $1$ 时，密度为 $1$，质量退化为体积。

$V=\underset{\Omega }{\iiint }1dV$

质量：

$M=\underset{\Omega }{\iiint }\rho (x,y,z)dV$

质心与形心

质心（密度不均匀）：

$\bar{x}=\frac{1}{M}\underset{\Omega }{\iiint }x\rho dV,\bar{y}=\frac{1}{M}\underset{\Omega }{\iiint }y\rho dV,\bar{z}=\frac{1}{M}\underset{\Omega }{\iiint }z\rho dV$

分子 分别为相对于 $YOZ$、$XOZ$、$XOY$ 面的静矩。

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形心（密度均匀，$\rho$ 为常数）：$\rho$ 约去后仅由几何形状决定。

$\bar{x}=\frac{1}{V}\underset{\Omega }{\iiint }xdV,\bar{y}=\frac{1}{V}\underset{\Omega }{\iiint }ydV,\bar{z}=\frac{1}{V}\underset{\Omega }{\iiint }zdV$

反用形心公式

若已知规则区域的形心和体积，可反用公式快速计算含单一变量的三重积分：

$\underset{\Omega }{\iiint }xdV=\bar{x}\cdot V$

球的形心即球心，椭球的形心即椭球心，体积有初等公式，直接代入即可。

反用形心公式

计算 $\underset{\Omega }{\iiint }(2x+y-z)dV$，$\Omega$ 为球心 $(1,2,0)$、半径 $R$ 的球。

形心 即球心 $(\bar{x},\bar{y},\bar{z})=(1,2,0)$，体积 $V=\frac{4}{3}\pi R^3$。

$\underset{\Omega }{\iiint }2xdV=2\bar{x}V=2\cdot 1\cdot \frac{4}{3}\pi R^3$

$\underset{\Omega }{\iiint }ydV=\bar{y}V=2\cdot \frac{4}{3}\pi R^3$

$\underset{\Omega }{\iiint }zdV=\bar{z}V=0$

合计：$(2\bar{x}+\bar{y})\cdot V=(2\cdot 1+2)\cdot \frac{4}{3}\pi R^3=\frac{16}{3}\pi R^3$

转动惯量

对坐标轴：
$I_x=\underset{\Omega }{\iiint }(y^2+z^2)\rho dV$

$I_y=\underset{\Omega }{\iiint }(x^2+z^2)\rho dV$

$I_z=\underset{\Omega }{\iiint }(x^2+y^2)\rho dV$

对坐标面：

$I_{xOy}=\underset{\Omega }{\iiint }{z}^2\rho dV,I_{yOz}=\underset{\Omega }{\iiint }{x}^2\rho dV,I_{xOz}=\underset{\Omega }{\iiint }{y}^2\rho dV$

对原点：

$I_O=\underset{\Omega }{\iiint }(x^2+y^2+z^2)\rho dV$

记忆规律

对某轴取转动惯量时，距离平方中缺少该轴对应的变量（如 $I_x$ 用 $y^2+z^2$，缺 $x$）

对某面取转动惯量时，只用该面法向方向的变量（如 $I_{xOy}$ 用 $z^2$）

球体对切平面的转动惯量

设切平面为 $x=R$，微元到该面的距离为 $R-x$：

$I=\underset{\Omega }{\iiint }(R-x{)}^2\cdot krdV$

展开 $(R-x{)}^2=R^2-2Rx+x^2$，由对称性 $x$ 为奇函数，$-2Rx$ 项积分为 $0$。

球坐标代入（$x=r\sin \phi \cos \theta$，$dV=r^2\sin \phi drd\phi d\theta$）：

$I=k{\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\pi }{\int }_0^R(R^2{r}^3\sin \phi +r^5{\sin }^3\phi {\cos }^2\theta )drd\phi d\theta$

积 $r$（${\int }_0^R{r}^{3}dr=\frac{R^4}{4}$，${\int }_0^R{r}^{5}dr=\frac{R^6}{6}$）

$I=k{R}^6{\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\pi }\left(\frac{\sin \phi }{4}+\frac{{\sin }^3\phi {\cos }^2\theta }{6}\right)d\phi d\theta$

积 $\theta$（${\int }_0^{2\pi }d\theta =2\pi$，${\int }_0^{2\pi }{\cos }^2\theta d\theta =\pi$，华里士公式）

$I=k{R}^6{\int }_0^{\pi }\left(\frac{\pi }{2}\sin \phi +\frac{\pi }{6}{\sin }^3\phi \right)d\phi$

积 $\phi$（${\int }_0^{\pi }\sin \phi d\phi =2$，${\int }_0^{\pi }{\sin }^3\phi d\phi =\frac{4}{3}$，华里士公式）

$I=k{R}^6\left(\frac{\pi }{2}\cdot 2+\frac{\pi }{6}\cdot \frac{4}{3}\right)=k{R}^6\left(\pi +\frac{2\pi }{9}\right)=\frac{11}{9}\pi k{R}^6$

立方体对棱边的转动惯量

【例 6】求边长为 $a$、密度为常数 $\mu$ 的立方体关于其任一棱边的转动惯量。

设立方体位于第一卦限，一个顶点在原点，棱边即 $z$ 轴。微元到 $z$ 轴距离为 $\sqrt{x^2+y^2}$

$I=\underset{\Omega }{\iiint }(x^2+y^2)\mu dV=\mu {\int }_0^a{\int }_0^a{\int }_0^a(x^2+y^2)dzdydx$

逐次积分（直角坐标， $x,y$ 对 $z$ 为常数） 积 $z$：${\int }_0^a(x^2+y^2)dz=a(x^2+y^2)$

积 $y$：${\int }_0^a(x^2+y^2)dy=a{x}^2+\frac{a^3}{3}$

积 $x$：${\int }_0^a\left(a{x}^2+\frac{a^3}{3}\right)dx=\frac{a^4}{3}+\frac{a^4}{3}=\frac{2a^4}{3}$

$I=\mu a\cdot \frac{2a^4}{3}=\frac{2}{3}\mu a^5$

万有引力

实体对质点的引力：取微元 $dM=\rho dV$，引力 $dF=G\frac{dM\cdot m}{r^2}$，方向沿两点连线。

力是矢量，需分解后积分。

利用对称性，只积分某方向的分量即可（其他方向分量由对称性抵消）。

以均匀柱体 $x^2+y^2\le R^2$，$0\le z\le H$ 对正上方 $(0,0,A)$（$A>H$）处单位质点的引力为例：

由对称性 $F_x=F_y=0$，只需算 $z$ 方向分量。

微元到质点距离 $r=\sqrt{x^2+y^2+(a-z{)}^2}$。

$z$ 方向分量需乘 $\cos \theta =\frac{a-z}{r}$：

$F_z=G\rho m\underset{\Omega }{\iiint }\frac{a-z}{{\left(x^2+y^2+(A-z{)}^2\right)}^{3/2}}dxdydz$

引力模型只研究实体对质点

所有万有引力的三重积分模型中，被吸引的一端都是质点。

一维可研究棒吸引点，二维研究圆片吸引点，三维研究实体吸引点。

两个实体之间的引力模型过于复杂，不在此研究范围。

常见题型

先二后一（截面法）

例1：球域 ∭ f(z) dV 的先二后一通式

证明：对 $\Omega :x^2+y^2+z^2\le 1$，有

$\underset{\Omega }{\iiint }f(z)dV=\pi {\int }_{-1}^{1}f(z)(1-z^2)dz$

截面 $D_z$：$x^2+y^2\le 1-z^2$，面积 $=\pi (1-z^2)$。

$\underset{\Omega }{\iiint }f(z)dV={\int }_{-1}^{1}f(z)\cdot \pi (1-z^2)dz=\pi {\int }_{-1}^{1}f(z)(1-z^2)dz$

先二后一 将三重积分降为一重，关键在于被积函数只含 $z$ 时截面面积可直接写出。

上半球 ∭ z dV（先二后一）

$\Omega :x^2+y^2+z^2\le 1,z\ge 0$，计算 $\underset{\Omega }{\iiint }zdV$。

截面 $D_z$：$x^2+y^2\le 1-z^2$，面积 $=\pi (1-z^2)$。

$\underset{\Omega }{\iiint }zdV={\int }_0^{1}z\cdot \pi (1-z^2)dz=\pi {\left[\frac{z^2}{2}-\frac{z^4}{4}\right]}_0^1=\frac{\pi }{4}$

轮换对称性

例2（2015 数一 第12题）：轮换对称性 + 反用形心

计算 $\underset{\Omega }{\iiint }(x+2y+3z)dV$，$\Omega$ 由 $x+y+z=1$ 及三个坐标面围成。

四面体 $\Omega$ 在轮换 $x\to y\to z\to x$ 下形式不变 $\Rightarrow \underset{\Omega }{\iiint }xdV=\underset{\Omega }{\iiint }ydV=\underset{\Omega }{\iiint }zdV$。

$\underset{\Omega }{\iiint }(x+2y+3z)dV=6\underset{\Omega }{\iiint }xdV$

体积 $V=\frac{1}{6}$，形心 $\bar{x}=\frac{1}{4}$，反用形心公式：

$\underset{\Omega }{\iiint }xdV=\bar{x}\cdot V=\frac{1}{4}\times \frac{1}{6}=\frac{1}{24}$

$I=6\times \frac{1}{24}=\frac{1}{4}$

形心计算

例3（2019 数一 第19题 10分）：锥体形心

设 $\Omega$ 由锥面 $x^2+(y-z{)}^2=(1-z{)}^2$（$0\le z\le 1$）与平面 $z=0$ 围成，求形心坐标。

截面 $D_z$：圆 $x^2+(y-z{)}^2\le (1-z{)}^2$，圆心 $(0,z)$，半径 $(1-z)$，面积 $=\pi (1-z{)}^2$。

体积

$V={\int }_0^1\pi (1-z{)}^{2}dz=\pi \cdot \frac{1}{3}=\frac{\pi }{3}$

由 $x$ 的对称性（$\Omega$ 关于 $yOz$ 面对称），$\bar{x}=0$。

$\bar{y}$：截面圆心纵坐标即 $z$ $\underset{\Omega }{\iiint }ydV={\int }_0^{1}z\cdot \pi (1-z{)}^{2}dz=\pi {\int }_0^1(z-2z^2+z^3)dz=\frac{\pi }{12}$

$\bar{y}=\frac{1}{V}\cdot \frac{\pi }{12}=\frac{3}{\pi }\cdot \frac{\pi }{12}=\frac{1}{4}$

$\bar{z}$：同一积分 $\underset{\Omega }{\iiint }zdV={\int }_0^{1}z\cdot \pi (1-z{)}^{2}dz=\frac{\pi }{12}$

$\bar{z}=\frac{1}{V}\cdot \frac{\pi }{12}=\frac{1}{4}$

形心：$(\bar{x},\bar{y},\bar{z})=\left(0,\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right)$

例4：上半椭球体质心（椭圆截面）

求密度均匀的上半椭球体 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\le 1,z\ge 0$ 的质心。

由对称性 $\bar{x}=\bar{y}=0$，只需算 $\bar{z}$。

体积（椭球体积公式的一半）：

$V=\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{3}\pi abc=\frac{2}{3}\pi abc$

截面 $D_z$：椭圆 $\frac{x^2}{a^2\left(1-\frac{z^2}{c^2}\right)}+\frac{y^2}{b^2\left(1-\frac{z^2}{c^2}\right)}\le 1$，面积 $=\pi ab\left(1-\frac{z^2}{c^2}\right)$。

$\underset{\Omega }{\iiint }zdV={\int }_0^{c}z\cdot \pi ab\left(1-\frac{z^2}{c^2}\right)dz=\pi ab{\left[\frac{z^2}{2}-\frac{z^4}{4c^2}\right]}_0^c=\frac{1}{4}\pi ab{c}^2$

$\bar{z}=\frac{\frac{1}{4}\pi ab{c}^2}{\frac{2}{3}\pi abc}=\frac{3}{8}c$

质心：$\left(0,0,\frac{3}{8}c\right)$