微分方程题型总结

一阶微分方程

一阶微分方程 最终都使用 $y=C{e}^{\int -P(x)dx}$ 这个公式求解

可分离变量型

有理函数的积分 裂项积分偏多

齐次微分方程

处理流程

由 齐次方程 可以明显看出 $\frac{y}{x}=\frac{y(x)}{x}$ 实际可以替换为关于 $x$ 的新变量 $u=g(x)$

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头重脚轻一定要换位 坑

例子

非齐次公式求解

齐次 等价于 关于 y 和 y 的各阶导的次数一致

$q(x)⟺y^0$ （也称为 齐零次）

某一年考察的 周期函数 推导，

但是很多人把 一阶微分方程求解公式 中的 变量代表都搞混了 坑

主要还是推导的问题，最好把记忆点放到推导的过程，这样两边积分上下限也能看清

一阶微分方程 如果 因为 绝对值 分出了两个 独立变量（不允许）

必须化简成只包含一个 独立变量的 单个式子

变换身份

类比齐次微分方程的 头重脚轻，

如果 一阶微分方程 不能用常规方法（分离、齐次、公式、伯努利）解决

尝试 改变 $x,y$ 的身份（再然后就没方法了）

二阶微分方程

可降阶微分方程

缺 $y^{\prime }$ 型：y″ = f (x)

缺 $y$ 型：y″ = f (x, y’)

实际例子

缺 $x$ 型：y″ = f (y, y’)

Hint

$y^{\prime \prime }=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}\cdot \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=p\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}$

构造 $y$ 和 $p$ 的微分方程时，可以把 $x$ 看成潜伏在 $y$ 下面的底层变量（没有调用）

得到关于 $y^{\prime }$ 的微分方程后，再将自变量看作 $x$ , 就可以解 $y(x)$ 了

最好将 $p^{\prime }p$ 写成 $\frac{dp}{dy}p$ ，便于理解

下面链式图中的 $f^{-1}$ 实际上有问题，因为不一定能保证 $y$ 和 $x$ 能互相映射

实际例子

不可降阶微分方程

理论理解

齐次线性微分方程

黑箱理论

非齐次线性微分方程

黑箱理论

计算通解

齐次类

猜测的 $e^{\lambda x}$ ，也可写成级数形式 $\sum _{i=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 漏解概率更小

工程解析

真题举例

此类题目需要 总揽全局 居高临下 的 分析

非齐次类

推荐使用 微分算子法 混合 待定系数法，大大简化计算过程

类型一

正向求解

反向求解

两种方法

1. 硬带入

2. 推测解的结构

类型二

正向求解

同类型一，根据 外界激励方程，判别 $y^{\ast }$ 的结构

反向求解

外界激励 $f(x)$ 判定式子

变量代换（解方程）

消自变量 $x$

不涉及 $y$

识别特征： 令 $x=x(t)$

消因变量 $y$

令 $y=g(x,u)$

消 因变量 $y$ 与 自变量 $x$

高于二阶的微分方程

根据特征根可以快速得到微分方程 （反之一样）

微分方程的应用

1. 切点用 $(x,y)$

2. 切线、割线 方程用 $(X,Y)$

3. 列方程时 切点 $x,y$ 不动（包括积分，三角）

4. 解方程时 $x,y$ 看作动点 （形成一个 沿曲线滑动轨迹 都 恒等 的问题）

例二的计算眩晕效果很强，注意识别被积函数的变量